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SPHÈRE
Sphere,
Kugelfläche
Du grec sphaira : sphère. |
Équation cartésienne : Équation sphérique : r = R. Paramétrisations cartésiennes : |
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1) |
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2) Coordonnées de Mercator, changer sin
v
en th v dans 1) : les courbes v = k u sont les loxodromies de la sphère. |
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3) Coordonnées stéréographiques
de pôle sud : Les lignes de coordonnées sont les sections de
la sphère par les plans passant par les droites x = 0, z
= -R et y= 0, z = -R.
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4) |
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5) |
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5) qui présente la particularité d'être un "habillage" (E = G = 1) de l'hémisphère nord moins l'équateur et le pôle ; une "isométrie" est par contre impossible ( E = G = 1 et F = 0). Les lignes de coordonnées sont étudiées ici. |
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La paramétrisation sphérique : La pièce de tissu habillant cette sphère est, avant déformation, un carré d'aire |
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Première forme quadratique fondamentale : Élément d’aire : Deuxième forme quadratique fondamentale : Rayons de courbure principaux : R et R. Aire : |
La sphère de centre O et de rayon R
est le lieu des points de l'espace situés à une distance
R
de O.
C’est donc la surface engendrée par la révolution
d'un cercle autour de son diamètre, qui est un cas limite de tore.
CNS : surface dont tous les points sont des ombilics.
La sphère est une surface homéomorphe au
compactifié d'Alexandrov du plan ,
noté
.
Autrement dit la sphère moins un point est topologiquement équivalente
au plan.
Voir ici le problème de la treizième spère.
Voir aussi l'ellipsoïde,
image de la sphère par une transformation affine, et la pseudo-sphère.
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© Robert FERRÉOL 2011