Voir aussi : en.wikipedia.org/wiki/3-sphere.

 

Équation cartésienne : . Paramétrisation cartésienne : .  1) avec  ??.  2) Coordonnées stéréographiques de centre (0, 0,0,-R) :  (il manque (0, 0,0,-R)). Mesure quadridimensionnelle de la boule associée :  ; volume : .

L' hypersphère (tridimensionnelle) de centre O et de rayon R est le lieu des points de l'espace de dimension 4 situés à une distance R de O.

C'est une variété de dimension 3 qui est homéomorphe au compactifié d'Alexandrov de l'espace tridimensionnel usuel R³, noté S³. Autrement dit l'hypersphère moins un point est topologiquement équivalente à l'espace usuel.
 
 

De même que l'ombre d'une sphère sur un plan est un disque, l'ombre d'une hypersphère sur un hyperplan (plus précsément, sa projection orthogonale hyperplane) est une boule de dimension 3. Par contre, ses sections par des hyperplans sont des sphères.

La section par l'hypercylindre  est le tore de Clifford.

Voici deux moyens d'imaginer l'hypersphère :
 

De même que la sphère est topologiquement équivalente à la réunion de deux disques fermés cousus bord à bord (représentant les deux hémisphères), l'hypersphère est topologiquement équivalente à la réunion de deux boules fermées collées le long de leur frontière (les deux hémihypersphères).

De même que la sphère est une réunion de cercles de rayons augmentant de 0 à R puis décroissant vers 0, l'hypersphère est une réunion de sphères de rayons augmentant de 0 à R puis décroissant vers 0.

 

surface suivante

surface précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL,  2008