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COURBE DE BÉZIER RATIONNELLE

Paramétrisation affine :   (soit ) où les  sont les polynômes de Bernstein : .
Courbe algébrique rationnelle de degré £ n.

Une suite de points pondérés  - les points de contrôle -  étant donnée, la courbe de Bézier rationnelle associée est la courbe de paramétrisation ci-dessus ; la courbe passe par A0 (pour t = 0) et An (pour t = 1), et la portion qui joint ces points est tracée dans l'enveloppe convexe des points de contrôle ; la tangente en A0 est (A0A1) et celle en An (An-1An).

Lorsque les masses ak sont égales, on retrouve les courbes de Bézier polynomiales.
Cette courbe est la projection conique (transformation ) de la courbe de Bézier 3D polynomiale dont les points de contrôle sont les points Ãk définis par .
Les courbes de Bézier rationnelles recouvrent donc toutes les courbes rationnelles.

La seule conique polynomiale étant la parabole, les courbes de Bézier simples ne permettent pas de représenter exactement un cercle, mais c'est possible avec les courbes de Bézier rationnelles.

Par exemple, si l'on prend un polygone de contrôle formé de deux segments égaux orthogonaux, la courbe de Bézier simple est une parabole ; si l'on double l'une des masses à une extrémité, on obtient un cercle :


En gras la courbe de Bézier rationnelle, qui est un cercle.


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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2000