Courbe de Moore

COURBE DE MOORE
Moore's curve, Mooresche Kurve

Courbe étudiée par Moore en 1900.
Eliakim Hastings Moore (1862-1932) : mathématicien américain.

Paramétrisation cartésienne définie par récurrence par :
M(0) = (0, 0) et M(1) = (1, 0)En posant ,
ces formules se traduisent par :

La courbe de Moore est l'unique courbe de Peano binaire remplissant le carré [0, 1]² et telle que M(0) = M(1) = (1/2, 0) (cf. la courbe de Hilbert qui vérifie, elle, M(0) = (0, 0) et M(1) = (1, 0)).
Elle est donc définie par l'algorithme :

1) Partager [0, 1]² en 4 "petits" carrés "égaux" ; numéroter chacun de ces carrés de sorte que deux carrés successifs se touchent par un côté, en commençant par le carré en bas à gauche, et terminant par le carré en bas à droite.

2) Partager chacun de ces carrés en 4 "micro" carrés "égaux" ; numéroter chacun de ces carrés de sorte que deux micro carrés successifs se touchent par un côté, en commençant par le micro-carré du milieu gauche, et terminant par le micro-carré du milieu droit, le premier micro-carré d'un petit carré devant avoir un côté en commun avec le dernier micro-carré du petit carré précédent et le dernier micro-carré devant toucher par un coté le petit carré suivant.

3) Recommencer ce processus à l'infini.

A l'étape n, on obtient donc une suite de 4ⁿ carrés

de côté

, deux carrés successifs se touchant par un côté, recouvrant successivement les carrés

La courbe de Moore approchée du premier type d'ordre n est alors la ligne brisée joignant les centres successifs de ces carrés, en bouclant le dernier avec le premier.

ordre 6

Le labyrinthe de Moore d'ordre n est le bord de la réunion des carrés .

Si t appartient à [0,1[ , posons (où [ t] désigne la partie entière de t).

Les , pour t fixé, forment une suite de carrés (compacts) emboîtés dont l’aire tend vers 0 ; leur intersection est donc réduite à un point , point courant de la courbe de Moore.

On démontre que la courbe est continue et que sa trajectoire est dense dans le carré, donc égale à ce carré.

En fait, la courbe de Moore n'est autre que 4 courbe de Hilbert accolées, et la courbe de Moore approchée à l'odre n, 4 courbes approchées de Hilbert à l'ordre n-1 reliées entre elles.

La courbe de Hilbert approchée d'ordre 3
La courbe de Moore approchée d'ordre 4.

Version arrondie de la courbe de Moore

Étant donné un carré ABCD (ici A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1)), la courbe limite de courbe de départ associée aux 4 contractions :
    - f_A : similitude directe d'angle p/2 et de rapport 1/2 ()
    - f_B: similitude directe d'angle p/2 et de rapport 1/2 ()
    - f_C: similitude directe d'angle - p/2 et de rapport 1/2 ()
    - f_D: similitude directe d'angle - p/2 et de rapport 1/2 ( )
est une courbe dont le carré plein ABCD est l'attracteur, mais qui n'est pas la courbe de Moore :

fractal suivant fractal précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres