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COURBE DE HILBERT


Courbe étudiée par Peano en 1890 et Hilbert en 1891.
David Hilbert, 1862-1943 : mathématicien allemand. 
Voir aussi cet article.

 
 
Paramétrisation cartésienne définie par récurrence par :

M(0) = (0, 0) et M(1) = (1, 0)

 (pour caculer M(t), décomposer t en base 4)
En posant ,

ces formules se traduisent par : 

Définition n°1 :

La courbe de Hilbert est l'unique courbe de Peano binaire remplissant le carré [0, 1]2 et telle que M(0) = (0, 0) et M(1) = (1, 0).
Elle est donc définie par l'algorithme :

1) Partager [0, 1]2 en 4 "petits" carrés "égaux" ; numéroter chacun de ces carrés de sorte que deux carrés successifs se touchent par un côté, en commençant par le carré en bas à gauche, et terminant par le carré en bas à droite.

2) Partager chacun de ces carrés en 4 "micro" carrés "égaux" ; numéroter chacun de ces carrés de sorte que deux micro carrés successifs se touchent par un côté, en commençant par le micro-carré en bas à gauche, et terminant par le micro-carré en bas à droite, le premier micro-carré d'un petit carré devant avoir un côté en commun avec le dernier micro-carré du petit carré précédent et le dernier micro-carré devant toucher par un coté le petit carré suivant.

3) Recommencer ce processus à l'infini.

A l'étape n, on obtient donc une suite de 4n  carrés  de côté , deux carrés successifs se touchant par un côté, recouvrant successivement les carrés .

La courbe de Hilbert approchée du premier type d'ordre n est alors la ligne brisée joignant les centres successifs de ces carrés.


les courbes de Hilbert d'ordres 1 à 4

Le labyrinthe de Hilbert d'ordre n est la réunion des côtés des carrés  excepté les côtés joignant deux carrés consécutifs (et les deux entrées) :

Si t appartient à [0,1[ , posons  (où [ t] désigne la partie entière de t).
 

Les , pour t fixé, forment une suite de carrés (compacts) emboîtés dont l’aire tend vers 0 ; leur intersection est donc réduite à un point  , point courant de la courbe de Hilbert.

On démontre que la courbe est continue et que sa trajectoire est dense dans le carré de départ, donc égale à ce carré.

La courbe de Hilbert possède cependant des points multiples ; le point central par exemple est un point triple.

Voici quelques points remarquables avec leurs paramètres.
 

Définition n° 2 :

Etant donné un carré ABCD (ici A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1)), la courbe de Hilbert est la courbe limite associée à la famille des 4 contractions suivantes (avec pour segment de départ [AB]) :
    - fA : similitude indirecte de centre A, d'axe [AC] et de rapport 1/2  ()
    - f: similitude indirecte de centre B, d'axe [BD] et de rapport 1/2 ()
    - f: homothétie de centre C de rapport 1/2 ()
    - f: homothétie de centre D de rapport 1/2 ()
Dont le carré plein ABCD est l'attracteur.

La courbe de Hilbert approchée du deuxième type d'ordre n est l'image itérée n-ième de [AB] par f définie par.

Elle possède malheureusement des points doubles (que possède de toutes façons la courbe limite).

En prenant comme courbe de départ :, on peut retrouver la courbe de Hilbert du premier type, à condition de raccorder les "U" entre eux :
 

En prenant comme courbe de départ : et en raccordant, on obtient une suite de courbe convergeant aussi vers la courbe de Hilbert :

Pages connexes :  L-systèmes, courbe de Hilbert 3D, courbe de Lebesgue.
 
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2006