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SYSTÈME DE LINDENMAYER
Lindenmayer sytem, Lindermayersches System


Aristid Lindenmayer (1925-1989) : biologiste hongrois. 

Un système de Lindenmayer, ou L-système, consiste en un ensemble E d'objets et une transformation f qui à un objet de E associe une suite finie d'objets de E.
Partant d'un objet x de E, on lui applique f : on obtient la suite d'objets de E à l'étape 1 notée S1 .
Puis on remplace chaque objet de S1 par son transformé par f on obtient la suite à l'étape 2 S2.
On réitère ce processus à l'infini, jusqu'à obtenir une suite infinie S , appelée "point fixe" du système, car elle possède la propriété :

Si on remplace chaque élément de S par son transformé par f, la suite reste inchangée.

par exemple, si E={0,1} et f(0)=01, f(1)=10, on obtient
S0 = 0
S1 = 01
S2 = 0110
S3 = 01101001

dont le point fixe S = 01101001100101101001011001101001......... est appelé suite de Thue-Morse.

Si E est l'ensemble des segments du plan, la courbe à l'étape n associée au système est la réunion des segments constituant Sn.

Dans le tableau suivants sont répertoriés de nombreux fractals se construisant par L-systyème.
Un segment en pointillé signifie que ce segment est tracé, mais n'est pas transformé à l'étape suivante.
Deux flèches noires indiquent qu'il faut inverser ses deux extrémités.

 F  : avancer d'une longueur a fixée
    G : avancer de a sans tracer
    + :  tourner d'un angle t1 fixé vers la droite
    -  :  tourner de t2  vers la gauche
Nom du fractal Objet de départ (en pointillé)
et son transformé
Code L-système Code Maple
Ensemble de Cantor
départ : F
loi : F=FGF
G=GGG
cantor:=proc(A,B,n) if n=0 then [A,B] else 
cantor(A, (2*A+B)/3, n-1),cantor((A+2*B)/3, B, n-1) 
fi end:plot([cantor([0,0],[1,0],4)],axes=none,color=red);
Escalier de Cantor oblique
  escalieroblique:=proc(a,b,c,d,n)
if n=0 then [a,b],[c,d] else 
escalieroblique(a, b, (2*a+c)/3, (b+d)/2, n-1),
escalieroblique((a+2*c)/3, (b+d)/2, c, d, n-1)
fi end:
plot([escalieroblique(0,0,1,1,6)],axes=none,color=red);
Escalier de Cantor droit
  escalierdroit:=proc(a,b,c,d,n)
if n=0 then [a,b],[c,b],[c,d] else 
escalierdroit(a, b, (2*a+c)/3, (b+d)/2, n-1),
escalierdroit((a+2*c)/3, (b+d)/2, c, d, n-1)
fi end:
plot([escalierdroit(0,0,1,1,6)],axes=none,color=red);
Courbe de Bolzano- Lebesgue
(t = 1/2 : escalier de Cantor,
t =2/3 : courbe de Bolzano-Lebesgue proprement dite)
  bolzaleb:=proc(a,b,c,d,t,n)
if n=0 then [a,b],[c,d] else 
bolzaleb(a,b,(2*a+c)/3,(1-t)*b+t*d,t,n-1),
bolzaleb((2*a+c)/3,(1-t)*b+t*d,(a+2*c)/3,t*b+(1-t)*d,t,n-1),
bolzaleb((a+2*c)/3,t*b+(1-t)*d,c,d,t,n-1)
fi end:
plot([bolzaleb(0,0,1,1,2/3,5)],axes=none,color=red);
Courbe de Koch
numéro du segment 1 2 3 4
longueur 1/3 1/3 1/3 1/3
angle avec le segment de départ 60° -60°
départ : F

loi :
F=F-F++F-F

avec t1 = t2= 60°

koch:=proc(A,B,n)
if n=0 then A else 
koch(A, (2*A+B)/3, n-1),
koch((2*A+B)/3, (A+B)/2+I*(B-A)/sqrt(3)/2 ,n-1),
koch((A+B)/2+I*(B-A)/sqrt(3)/2, (A+2*B)/3, n-1),
koch((A+2*B)/3, B, n-1) 
fi end:
complexplot([koch(0,1,4),1],axes=none,color=red,scaling=constrained);
Courbe de Koch généralisée
(avec 1/4 £ t £ 1/2 ;
t = 1/3 : courbe de Koch,
t =1/2 : courbe de Césaro)
pour Césaro :
numéro du segment 1 2 3 4
longueur 1/2 1/2 1/2 1/2
angle avec le segment de départ 90° -90°
Idem avec t1 = t2 poumon:=proc(A,B,t,n)
if n=0 then A else
poumon(A, (1-t)*A+t*B, t, n-1),
poumon((1-t)*A+t*B, (A+B)/2+I*(B-A)*sqrt(t-1/4), t, n-1),
poumon((A+B)/2+I*(B-A)*sqrt(t-1/4), t*A+(1-t)*B, t, n-1),
poumon(t*A+(1-t)*B, B, t, n-1) 
fi end:
complexplot([poumon(0,1,0.45,4),1],axes=none,color=red,scaling=constrained);
Courbe du C
numéro du segment 1 2
longueur 1/Ö2 1/Ö2
angle avec le segment de départ 45° -45°
départ : F

loi :
F=-F++F

avec t = 45°

c:=proc(A,B,n)
if n=0 then A else 
c(A, (A+B)/2+I*(B-A)/2, n-1),
c((A+B)/2+I*(B-A)/2, B, n-1) 
fi end:
complexplot([c(0,1,8),1],axes=none,color=red,scaling=constrained);
Courbe du dragon
numéro du segment 1 2
longueur 1/Ö2 1/Ö2
angle avec le segment de départ 45° -45°
  dragon:=proc(A,B,n)
if n=0 then [A,B] else 
dragon((A+B)/2+I*(B-A)/2, A, n-1),
dragon((A+B)/2+I*(B-A)/2, B, n-1) 
fi end:
complexplot([dragon(0,1,8)],axes=none,color=red,scaling=constrained);
Courbe de Peano
(deuxième type)
numéro du segment 1 2 3 4 5 6 7 8 9
longueur 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3
angle avec le segment de départ 90° -90° 180° -90° 90°
départ : F

loi :
F=F-F+F+F+F
-F-F-F+F

peano:=proc(A,B,n) if n=0 then A else 
peano(A,(2*A+B)/3,n-1),
peano((2*A+B)/3,(2*A+B)/3+I*(B-A)/3,n-1),
peano((2*A+B)/3+I*(B-A)/3,(A+2*B)/3+I*(B-A)/3,n-1),
peano((A+2*B)/3+I*(B-A)/3,(A+2*B)/3,n-1),
peano((A+2*B)/3,(2*A+B)/3,n-1),
peano((2*A+B)/3,(2*A+B)/3-I*(B-A)/3,n-1),
peano((2*A+B)/3-I*(B-A)/3,(A+2*B)/3-I*(B-A)/3,n-1),
peano((A+2*B)/3-I*(B-A)/3,(A+2*B)/3,n-1),
peano((A+2*B)/3,B,n-1) 
fi end:
complexplot([peano(0,1+I,3),1+I]),axes=none,color=red,scaling=constrained);
Courbe de Peano
(premier type)
     
Courbe de Péano incomplète, remplissant le carré de Sierpinski
  peanosierp:=proc(A,B,n) if n=0 then [A,B] else 
peanosierp(A,(2*A+B)/3,n-1),
peanosierp((2*A+B)/3,(2*A+B)/3+I*(B-A)/3,n-1),
peanosierp((2*A+B)/3+I*(B-A)/3,(A+2*B)/3+I*(B-A)/3,n-1),
peanosierp((A+2*B)/3+I*(B-A)/3,(A+2*B)/3,n-1),
peanosierp((2*A+B)/3,(2*A+B)/3-I*(B-A)/3,n-1),
peanosierp((2*A+B)/3-I*(B-A)/3,(A+2*B)/3-I*(B-A)/3,n-1),
peanosierp((A+2*B)/3-I*(B-A)/3,(A+2*B)/3,n-1),
peanosierp((A+2*B)/3,B,n-1) 
fi end:
complexplot([peanosierp(0,1+I,3)],axes=none,color=red,scaling=constrained);
Courbe du triangle de Sierpinski
numéro du segment 1 2 3
longueur 1/2 1/2 1/2
angle avec le segment de départ 60° 60°
  sierpinski:=proc(A,B,n)
if n=0 then [A,B] else 
sierpinski((3*A+B)/4+I*(B-A)*sqrt(3)/4,A,n-1),
sierpinski((3*A+B)/4+I*(B-A)*sqrt(3)/4,
               (A+3*B)/4+I*(B-A)*sqrt(3)/4,n-1),
sierpinski(B,(A+3*B)/4+I*(B-A)*sqrt(3)/4,n-1) 
fi end:
complexplot([sierpinski(0,1,6)],axes=none,color=red,scaling=constrained);
Courbe de Hilbert
(premier type)
X = YF+XFX+FY
Y = +XFYFYFX+
hilbert:=proc(A,B,n,e)
if n=0 then (3*A+B)/4+e*I*(B-A)/4,(3*A+B)/4+3*e*I*(B-A)/4,
(A+3*B)/4+3*I*e*(B-A)/4,(A+3*B)/4+e*I*(B-A)/4 else 
hilbert(A,A+e*I*(B-A)/2,n-1,-e),
hilbert(A+e*I*(B-A)/2,(A+B)/2+e*I*(B-A)/2,n-1,e),
hilbert((A+B)/2+e*I*(B-A)/2,B+e*I*(B-A)/2,n-1,e),
hilbert(B+e*I*(B-A)/2,B,n-1,-e) 
fi end:
complexplot([hilbert(0,1,2,1)]),axes=none,color=red,scaling=constrained);
Courbe de Hilbert
(deuxième type)
  hilbert2:=proc(A,B,n)
if n=0 then [A,B] else 
hilbert2(A+I*(B-A)/2,A,n-1),
hilbert2(A+I*(B-A)/2,(A+B)/2+I*(B-A)/2,n-1),
hilbert2((A+B)/2+I*(B-A)/2,B+I*(B-A)/2,n-1),
hilbert2(B,B+I*(B-A)/2,n-1) 
fi end:
complexplot([hilbert2(0,1,4)]),axes=none,color=red,scaling=constrained);
Courbe de Sierpinski  
départ  : A
    Loi  : 
A =B-A-B,
B= A+B+A
    angle  : 60º
 
Saucisse de Minkowski
numéro du segment 1 2 3 4 5 6 7 8
longueur 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3
angle avec le segment de départ 90° -90° -90° 90°
F=F-F+F+FF-F-F+F mink:=proc(A,B,n)
 if n=0 then A else 
 mink(A,(3*A+B)/4,n-1),mink((3*A+B)/4,(3*A+B)/4+I*(B-A)/4,n-1),
 mink((3*A+B)/4+I*(B-A)/4,(A+B)/2+I*(B-A)/4,n-1),mink((A+B)/2+I*(B-A)/4,(A+B)/2,n-1),
 mink((A+B)/2,(A+B)/2-I*(B-A)/4,n-1),mink((B+A)/2-I*(B-A)/4,(A+3*B)/4-I*(B-A)/4,n-1),
 mink((3*B+A)/4-I*(B-A)/4,(A+3*B)/4,n-1),mink((A+3*B)/4,B,n-1) 
 fi end:
complexplot([mink(0,1,1),1],axes=none,color=red,scaling=constrained);
Courbe de Gosper
numéro du segment 1 2 3 4 5 6 7
longueur 1/Ö7 1/Ö7 1/Ö7 1/Ö7 1/Ö7 1/Ö7 1/Ö7
angle avec le segment de départ 0-a° 60-a° 180-a° 120-a° -a° -a° -60-a°
a = arctan(sqrt(3)/5)).
  gosper:=proc(A,B,n);
u:=evalf(exp(I*Pi/3)):v:=evalf((B-A)*exp(-I*arctan(sqrt(3)/5))/sqrt(7)):
P:=A+v:Q:=P+u*v:R:=Q-v:S:=R+u^2*v:T:=S+v:U:=T+v:
if n=0 then[A,B] else 
gosper(A,P,n-1),
gosper(Q,P,n-1),
gosper(R,Q,n-1),
gosper(R,S,n-1),
gosper(S,T,n-1),
gosper(T,U,n-1),
gosper(B,U,n-1)
fi end: 
complexplot([gosper(0,1,4)],axes=none,color=red,scaling=constrained);
Arbre
  arbre:=proc(A,B,L,t,n)
local k,M;
k:=nops(L):M:=evalf([seq(L[q]*exp(t[q]*I),q=1..k)]);
if n=0 then [A,B] else
[A,B],seq(arbre(B,B+M[q]*(B-A),L,t,n-1),q=1..k)
fi end:
complexplot([arbre(0,I,[0.7,0.7],[Pi/9,-2*Pi/9],7)],
axes=none,color=COLOR(RGB,0.55,0.2,0),scaling=constrained);
Fougère
  fougere:=proc(A,B,L,t,n)
local k,M;
k:=nops(L):M:=evalf([seq(L[q]*exp(t[q]*I),q=1..k)]);
if n=0 then [A,B] else [A,B],
fougere(B,B+M[1]*(B-A),L,t,n-1),
fougere(B,B+M[2]*(B-A),L,subsop(1=-t[1],t),n-1),
fougere(B,B+M[3]*(B-A),L,t,n-1) 
fi end:
complexplot([fougere(0,I,[0.85,0.33,0.33],[0.05,0.4*Pi,-0.4*Pi],5)]),
axes=none,color=COLOR(RGB,0.1,0.9,0),scaling=constrained);

 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2010