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FRACTAL DE SIERPINSKI
Sierpinski's fractal, sierpinskisches Fraktal


Le tamis de Sierpinski a été étudié par Sierpinski en 1915, mais le pentagone de Dürer date de 1500...
Quand au mot fractal, il n'a été créé par Mandelbrot qu'en 1975 !
Waclaw Sierpinski (1882-1969) : mathématicien polonais.
Admirez une éponge de Sierpinski en tickets de tram !

Le principe général de construction d'un fractal de Sierpinski est le suivant. On part d'un objet contenant un certain nombre p de parties isométriques entre elles, qui lui sont homothétiques et qui ne se coupent que suivant leurs frontières ; on évide dans l'objet le complémentaire de la réunion des parties homothétiques et on recommence l'opération à l'infini dans chacun des p objets homothétiques.
L'objet limite n'est alors autre que l'attracteur des p homothéties transformant l'objet de départ en ses parties homothétiques.

En dimension 1, le fractal de Sierpinski le plus simple est l'ensemble de Cantor.

En dimension 2, les 4 fractals les plus célèbres sont le triangle (ou tamis), le carré (ou tapis, carpette, napperon),  le pentagone et l'hexagone de Sierpinski.

    - pour le carré (en anglais "Sierpinski carpet"), l'objet de départ est un carré plein de côté a et les parties homothétiques les 8 carrés de coté a/3 accolés à sa frontière :

Le tapis de Sierpinski est donc l'attracteur de 8 homothéties de rapport 1/3 centrées aux sommets et aux milieux des côtés d'un carré : dimension fractale = » 1,9 ; en voir une courbe remplissante ici.
Rem : Les diagonales et médianes du tapis de Sierpinski sont des ensembles de Cantor.

Voir de nombreuses variantes du carré de Sierpinski sur la page correspondante.

    - voici le pentagone de Sierpinski, digne des dentelles flamandes :
 

C'est l'attracteur de 5 homothéties de rapport  centrées aux sommets d'un pentagone régulier : dimension fractale = .

Si l'on part du pentagone régulier étoilé, les figures obtenues sont également très élégantes :

Vous verrez dans ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/pentagon/Durer.htm que Dürer avait été un précurseur, avec une construction similaire (rajout d'une sixième homothétie de même rapport centrée au centre du pentagone).

    - et le tout aussi dentelé hexagone de Sierpinski :
 

C'est l'attracteur de 6 homothéties de rapport 1/3 centrées aux sommets d'un hexagone régulier : dimension fractale = . Chacun aura remarqué que la partie évidée centrale est un flocon de Koch ; les six côtés sont des courbes de Koch.

Ces divers fractals peuvent bien sur se généraliser à un polygone régulier convexe quelconque ; le polygone de Sierpinski d'ordre est l'attracteur de n homothéties de rapport  centrées au sommet d'un polygone régulier convexe d'ordre n. Ce rapport est choisi de sorte que les n images du polygone plein de départ soient juste jointives. Attention, cette généralisation redonne tous les cas ci-dessus, sauf le cas n = 4 (où elle donne le carré plein) ; remarquons que pour n compris entre 5 et 8, le rapport se simplifie en .
Voici par exemple l'élégant octogone de Sierpinski :
 

 
 
Ci contre un programme à coller dans Maple pour tracer ces polygones : sierpinski:=proc(x,y,a,n,p)                                                                b:=1/2/evalf(sum(cos(2*q*Pi/n),q=0..floor(n/4))): 
 if p=0 then  polygonplot([seq([x+a*cos(k*Pi*2/n),y+a*sin(k*Pi*2/n)],k=1..n)]) 
else seq(sierpinski(x+(1-b)*a*cos(k*Pi*2/n),y+(1-b)*a*sin(k*Pi*2/n),a*b,n,p-1), k=1..n) fi end: 
display(sierpinski(0,0,1,6,3),color=red,style=patchnogrid,axes=none,scaling=constrained);

En dimension 3, le fractal de Sierpinski le plus célèbre, version 3D du tapis, est l'éponge de Menger découverte en 1925 (Karl Menger : 1902 - 1985 : mathématicien américain), attracteur de 20 homothéties de rapport 1/3 centrées aux sommets et aux milieux des arêtes d'un cube, de dimension fractale .

Constructions réalisées par Alain Esculier

Mais il existe aussi une version 3D du tamis, le tétraèdre de Sierpinski, attracteur de 4 homothéties de rapport 1/2 centrées aux sommets d'un tétraèdre, de dimension fractale pile égale à 2 :

On peut aussi construire des objets similaires à partir des 3 autres polyèdres réguliers :



Voir cette page donnant des exemples de fractals de Sierpinski 3D.
 
Complémentaire de l'éponge de Menger

Coupe transversale d'une éponge de Menger faisant apparaïtre des hexagones...
tapis de sierpinski sur la sphère

 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2013