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ATTRACTEUR D’UNE FAMILLE DE CONTRACTIONS


Notion introduite par Hutchinson en 1981.
En anglais : attractor of an IFS (iterated functions system).
Autre article sur le sujet.

Soit , une famille de contractions (c'est-à dire vérifiant  ) d'un espace métrique complet E.
Il existe alors un unique compact non vide A de E tel que , appelé attracteur de la famille  (c’est le point fixe attractif de la fonction  f définie sur les compacts non vides de E par ). Partant d'un compact quelconque K0 , la récurrence  fournit une suite de compacts qui converge au sens de la métrique de Hausdorff vers A .
Si les fi sont des similitudes de rapport , le nombre d défini par  (qui vaut  lorsque les similitudes sont toutes de rapports ) est appelé la dimension de similitude interne de A.
Ce nombre est supérieur ou égal à la dimension fractale de A et lui est égal si les fi(A) se coupent 2 à 2 sur leur frontière.

Exemples :
 
Nom de l'attracteur famille des contractions dimension de similitude de KF
segment [AB] 2 homothéties de rapport 1/2 de centres A et B 1
ensemble de Cantor d’extrémités A et B 2 homothéties de rapport 1/3 de centres A et B = 0,631
escalier du diable 3 contractions affines 1
courbe du blanc-manger 2 composées des homothéties de rapport 1/2 de centre A et B avec des transvections 1 ?
courbe de Koch 4 similitudes de rapport 1/3 1,262
ensemble unité 2 similitudes directes de même rapport  et même angle.

courbe du C
2 similitudes directes de rapport  d'angles p/4 et -p/4 2 ?
courbe du dragon 2 similitudes directes de rapport  2
triangle rectangle isocèle vu comme courbe de Polya 2 similitudes indirectes de rapport  2
carré plein ABCD 4 homothéties de rapport 1/2 de centres A, B, C, D 2
carré plein vu comme courbe de Hilbert 4 similitudes de rapport 1/2 2
carré plein vu comme courbe de Peano 9 similitudes de rapport 1/3 2
carré plein vu comme courbe de Sierpinski 4 similitudes de rapport 1/2 2

triangle de Sierpinski
3 homothéties de rapport 1/2 de centres les sommets d'un triangle équilatéral = 1,585
tapis de Sierpinski
Voir de nombreuses variantes sur cette page
8 homothéties de rapport 1/3 centrées aux sommets et au milieu des côtés d'un carré  = 1,893
île de Gosper 7 similitudes de rapport 1/Ö 7 2
fougère de Barnsley 4 transformations affines ?
cube plein 8 homothéties de rapport 1/2 centrées aux sommets du cube 3
éponge de Menger 20 homothéties de rapport 1/3 centrées aux sommets et au milieu des arêtes d'un cube  = 2,727

 
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© Robert FERRÉOL  2013