Courbe de Wunderlich

COURBE DE WUNDERLICH
Wunderlich's curve, wunderlichsche Kurve

Courbes étudiées par Wunderlich en 1973.
Walter Wunderlich (1910 - 1998) : mathématicien autrichien.

Les courbes de Wunderlich sont des variantes de la courbe de Péano ternaire.

Pour la courbe de Péano classique, on partage le carré en neuf, et on choisit un chemin continu passant par les 9 carrés : ; les 9 carrés étant ensuite chacun partagés en 9, c'est le chemin image miroir qui est choisi dans un carré sur deux, en commençant par le deuxième.

Pour la courbe de Wunderlich, on choisit le même ordre des 9 carrés, mais le chemin choisi dans chacun des 9 carrés est obtenu par rotation du chemin de base.
On obtient ainsi une courbe où la proportion des segments verticaux est égale à celle des horizontaux, donc plus harmonieuse.
Comme pour la courbe de Péano, la courbe de Wunderlich est l'attracteur d'une famille de 9 similitudes de rapport 1/3 ; les 9 similitudes sont directes, alors qu'il n'y en avait 5 directes et 4 indirectes pour Péano.

Dans la version ci-contre, le chemin image miroir a été choisi dans tous les carrés ; la courbe est simplement symétrique de la précédente par rapport à la diagonale descendante.

Ici, le chemin image miroir a été choisi dans un carré sur deux, en commençant par le premier.
Il y a donc en fait 2⁹ = 512 variantes possibles (voir sur aesculier.fr/fichiersMaple/peano/peano.html un programme de tracé de ces courbes)

Dans cette dernière version de Wunderlich, le chemin de départ choisi est différent : ; et c'est le même chemin qui est choisi, avec diverses orientations ou symétries, dans chaque carré.
Là aussi 512 variantes possibles (voir toujours aesculier.fr/fichiersMaple/peano/peano.html )

Si l'on déplie le labyrinthe de la cathédrale de Chartres, on obtient une courbe continue passant par les 110 centres des carrés d'un rectangle 11
/10 que l'on pourrait itérer pour obtenir une courbe de type Péano...

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Pour la courbe de Péano classique, on partage le carré en neuf, et on choisit un chemin continu passant par les 9 carrés : ; les 9 carrés étant ensuite chacun partagés en 9, c'est le chemin image miroir qui est choisi dans un carré sur deux, en commençant par le deuxième.
Pour la courbe de Wunderlich, on choisit le même ordre des 9 carrés, mais le chemin choisi dans chacun des 9 carrés est obtenu par rotation du chemin de base. On obtient ainsi une courbe où la proportion des segments verticaux est égale à celle des horizontaux, donc plus harmonieuse. Comme pour la courbe de Péano, la courbe de Wunderlich est l'attracteur d'une famille de 9 similitudes de rapport 1/3 ; les 9 similitudes sont directes, alors qu'il n'y en avait 5 directes et 4 indirectes pour Péano.
Dans la version ci-contre, le chemin image miroir a été choisi dans tous les carrés ; la courbe est simplement symétrique de la précédente par rapport à la diagonale descendante.
Ici, le chemin image miroir a été choisi dans un carré sur deux, en commençant par le premier. Il y a donc en fait 2⁹ = 512 variantes possibles (voir sur aesculier.fr/fichiersMaple/peano/peano.html un programme de tracé de ces courbes)
Dans cette dernière version de Wunderlich, le chemin de départ choisi est différent : ; et c'est le même chemin qui est choisi, avec diverses orientations ou symétries, dans chaque carré. Là aussi 512 variantes possibles (voir toujours aesculier.fr/fichiersMaple/peano/peano.html )