Courbe de Sierpinski

COURBE DE SIERPINSKI
Sierpinski's curve, Sierpinskische Kurve

Courbe étudiée par Sierpinski en 1912.
Waclaw Sierpinski (1882-1969) : mathématicien polonais.
Voir aussi cette page d'Alain Esculier.

La courbe de Sierpinski est une courbe remplissant un carré, courbe limite des constructions ci-dessous :

Cette construction, exploitant le fait qu'un triangle rectangle isocèle se partage en deux triangles rectangles isocèles identiques est distincte de celles de Peano (un carré partagé en 9 carrés) ou de Hilbert (un carré partagé en 4 carrés).
Le point que nous avons choisi dans chaque triangle est le centre du cercle inscrit (de sorte que tous les segments ont la même longueur), mais le point choisi n'a en fait pas d'influence sur la courbe finale.

En fait la courbe de Sierpinski limite n'est autre que la réunion de 4 courbes de Cesàro comme le montre les figures suivantes :

Remplissage du carré par 4 courbes de Cesàro

Les courbes de Sierpinski approchées se distinguent des courbes de Cesàro par le fait qu'elles sont sans point doubles et particulièrement esthétiques, mais au final, ce sont les mêmes !

Ne pas confondre cette courbe avec la courbe du triangle de Sierpinski.

Que diriez vous d'un carrelage de Sierpinski, à deux types de carreaux ?

Figure kolam traditionnelle indienne

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