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POLYÈDRE RÉGULIER
Regular polyhedron, reguläres Polyeder


Autre nom : solide de Platon, ou platonicien.
sites : 
http://www.srcf.ucam.org/~rjw62/polyhedra/entry/platonicsolids.html

Un polyèdre est dit régulier si toutes ses faces sont des polygones réguliers de même type et si tous ses sommets sont de même degré.

CNS :
    - polyèdre semi-régulier dont les faces sont de même ordre
    - polyèdre semi-régulier de deuxième espèce dont les sommets sont de même degré.

Attention : un polyèdre dont toutes les faces sont des polygones réguliers de même type n'est pas forcément régulier ;
exemple :  la bipyramide  à base triangulaire et faces régulières(sommets de degré 3 ou 4),
et plus généralement, tous les deltaèdres.

Un polyèdre régulier possède les régularités suivantes :

Concernant les faces
    1a) toutes les faces ont même ordre
    1b) toutes les faces ont la même aire
    1b) toutes les faces sont isométriques
    1c) toutes les faces sont régulières

Concernant les sommets
    2a) tous les sommets ont même degré
    2b) les angles solides aux sommets sont tous égaux
    2c) tous les sommets sont isométriques en ce sens que les figures formées par les demi-droites issues de chaque sommet sont isométriques.
    3c) tous les sommets sont réguliers (les angles des faces arrivant en un même sommet sont égaux)

Concernant les arêtes
    3a) toutes les arêtes ont même longeur
    2d) tous les angles dièdres sont égaux

Pb : CNS une propriété de chaque classe 1), 2) , 3) réalisée ???? faux pour 1) a) , 2) a) , 3)a)

Un polyèdre régulier (avec la définition donnée dans ce site) est convexe, inscriptible et circonscriptible (plus précisément, il possède une sphère tangente à chaque face en son centre).

Il existe à similitude près cinq polyèdres réguliers (théorème de Platon) :


Rem : le code de Schläfli de  chaque sommet d'un polyède régulier est le même, et de la forme pq ;
et on désigne par symbole de Schläfli, qui se généralise aux dimensions supérieures la notation légèrement différente : {p, q].
 
nom code et symbole de Schläfli faces sommets arêtes remarque  figure 
tétraèdre régulier 33  {3,3}  4 triangles 12 de degré 3 4 autodual
cube 43  {4,3}  6 carrés 8 de degré 3  12 dual de l'octaèdre
octaèdre (régulier) 34  {3,4}  8 triangles 6 de degré 4 12 dual du cube 
dodécaèdre (régulier) 53  {5,3}  12 pentagones 20 de degré 3 30 dual de l'icosaèdre
icosaèdre (régulier) 35  {3,5}  20 triangles 12 de degré 5 30 dual du dodécaèdre

On peut exprimer par des formules communes les mensurations des 5 polyèdres réguliers, en fonction de la longueur de l'arête a, de l'ordre n des faces et du degré p des sommets :

Diamètre de la sphère inscrite : 
Diamètre de l'intersphère (tangente aux arêtes) : 
Diamètre de la sphère circonscrite : 
Angle dièdre entre deux faces adjacentes : 
 

Il existe encore 4 polyèdres généralisés réguliers , dits "polyèdres étoilés", ou "polyèdres de Képler-Poinsot".

Pour d'autres généralisation, voir les polyèdres semi-réguliers, les polychores réguliers.
 
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© Robert FERRÉOL 2005