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POLYÈDRE RÉGULIER, PAVAGE RÉGULIER
Regular polyhedron, regular tiling, reguläres Polyeder, reguläre Markettierung


Solides découverts par Théétète d'Athènes au quatrième siècle avant J.C.
Autre nom : solide de Platon, ou platonicien.
Site :  polyhedra.mathmos.net/entry/platonicsolids.html

Un polyèdre est dit régulier si toutes ses faces sont des polygones réguliers de même type et si tous ses sommets sont de même degré.

Un drapeau étant une suite f est une face, a une arête de cette face, et s une extrémité de cette arête, le polyèdre est régulier ssi le groupe des isométries laissant le polyèdre invariant est transitif sur les drapeaux, c'est-à-dire qu'il existe toujours une isométrie envoyant un drapeau donné sur un drapeau donné.

Autre CNS :
    - polyèdre semi-régulier dont les faces sont de même ordre
    - polyèdre semi-régulier de deuxième espèce dont les sommets sont de même degré.
 
 

Attention : un polyèdre dont toutes les faces sont des polygones réguliers de même type n'est pas forcément régulier ;
exemple :  la bipyramide  à base triangulaire et faces régulières(sommets de degré 3 ou 4),
et plus généralement, tous les deltaèdres.

Un polyèdre régulier possède les régularités suivantes :

Concernant les faces
    1a) toutes les faces ont même ordre
    1b) toutes les faces ont la même aire
    1c) toutes les faces sont isométriques
    1d) toutes les faces sont régulières

Concernant les sommets
    2a) tous les sommets ont même degré
    2b) les angles solides aux sommets sont tous égaux
    2c) tous les sommets sont isométriques en ce sens que les figures formées par les demi-droites issues de chaque sommet sont isométriques.
    3c) tous les sommets sont réguliers (les angles des faces arrivant en un même sommet sont égaux)

Concernant les arêtes
    3a) toutes les arêtes ont même longueur
    2b) tous les angles dièdres sont égaux

Bon exercice : quels sous-ensembles de conditions ci-dessus caractérisent les polyèdres réguliers ?

Un polyèdre régulier (avec la définition des polyèdres donnée dans ce site) est convexe, inscriptible et circonscriptible (plus précisément, il possède une sphère tangente à chaque face en son centre).

Il existe à similitude près cinq polyèdres réguliers (théorème de Platon) décrits dans le tableau ci-dessous :

Rem : le code de Schläfli de chaque sommet d'un polyèdre régulier est le même, et de la forme pq (q p-gones arrivant à chaque sommet),
et on désigne par symbole de Schläfli, qui se généralise aux dimensions supérieures, la notation légèrement différente : {p, q].
nom
code et symbole de Schläfli
faces
sommets
arêtes
remarque 
figure 
tétraèdre régulier 33  {3,3}  4 triangles 4 de degré 3 6 auto-dual
cube 43  {4,3}  6 carrés 8 de degré 3  12 dual de l'octaèdre
octaèdre (régulier) 34  {3,4}  8 triangles 6 de degré 4 12 dual du cube 
dodécaèdre (régulier) 53  {5,3}  12 pentagones 20 de degré 3 30 dual de l'icosaèdre
icosaèdre (régulier) 35  {3,5}  20 triangles 12 de degré 5 30 dual du dodécaèdre

Il est remarquable que la donnée du symbole de Schläfli {p , q} et de la longueur d'arête a définit entièrement le polyèdre régulier, à isométrie près.
On peut du reste exprimer par des formules communes les données concernant les 5 polyèdres réguliers, en fonction de la longueur de l'arête a, de l'ordre p des faces et du degré q des sommets (S et F étant déjà reliés par : q S = p F).
 
Nombre de sommets Nombre d'arêtes Nombre de faces

 
Diamètre de la sphère inscrite Diamètre de l'intersphère (tangente aux arêtes)  Diamètre de la sphère circonscrite 

 
Angle dièdre entre deux faces adjacentes Aire totale Volume

Les 5 polyèdres réguliers correspondent aux 5 pavages possibles de la sphère par des polygones sphériques réguliers (à 3 arêtes au moins), isométriques, bord à bord, et dont tous les sommets sont du même type, que nous relions ci-dessous aux 3 seuls pavages du plan par des polygones réguliers ayant des propriétés similaires.

Tout d'abord, 3+1 pavages triangulaires ou deltillages (images réalisées par Alain Esculier) :
deltillage {3,3} correspondant au tétraèdre deltillage {3,4} correspondant à l'octaèdre deltillage {3,5} correspondant à l'icosaèdre deltillage {3,6} plan

1+1 pavages carrés, ou quadrillages :
quadrillage {4,3} correspondant au cube
quadrillage {4,4} plan

1 pavage pentagonal ou pentillage sphérique et 1 pavage hexagonal ou hexillage plan :
pentillage {5,3} correspondant au dodécaèdre
hexillage {6,3} plan
Voir ici une application au nombre chromatique du tore
Superbe pavage hexagonal à la mosquée Bleue de Tabriz (Iran, Azerbaïdjan Oriental).
Photo, Alain Juhel.

REM 1: il existe aussi sur la sphère des polygones à deux arêtes d'aire non nulle : les hosoèdres qui donnent lieu à d'autres pavages.

REM 2 : Il existe encore 4 polyèdres généralisés réguliers, dits "polyèdres réguliers étoilés", ou "polyèdres de Képler-Poinsot".

Pour d'autres généralisations, voir les polyèdres semi-réguliers, les polychores réguliers, les polytopes réguliers.
 
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© Robert FERRÉOL 2014