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TETRAÈDRE
Tetrahedron, Tetraeder

Du grec "tetra" quatre et "edros" siège, base.

Un tetraèdre est un polyèdre à 4 faces (ou 4 sommets), nombre minimal possible ; il n'en existe qu'un seul type, équivalent au tétraèdre régulier dont voici la carte de visite :
 
 
Famille polyèdres réguliers
également pyramides
Historique découvert avant ou après le cube ????
Dual lui-même ¬ dual polaire du tétraèdre par rapport à sa sphère circonscrite
Faces 4 triangles
Sommets 4 sommets de degré 3, de code de Schläfli 33
Arêtes 6 arêtes de longueur a ; angle dièdre : rd, soit 70° 31' 44"
Patrons
Graphe (diagramme de Schlegel)
graphe complet d'ordre 4 K4
Diamètres sphère inscrite ; intersphère (tangente aux  arêtes) : ; sphère circonscrite .
Mensurations volume :   aire : 
coefficient isopérimétrique : .
Coordonnées 
des sommets
() avec un nombre pair de signes - (ou un nombre impair), tous les sommets étant reliés entre eux.
Construction troncature maximale d'un sommet du cube sur deux : 
Plans de symétrie 6 plans médiateurs, passant par les 6 arêtes.
Axes de rotation
les 4 hauteurs (2 rotations d'ordre 3 par axe)
les 3 médianes, joignant les milieux de 2 arêtes opposées (une rotation d'ordre 2 par axe).

Noter que d'après la figure ci-contre, la carré est donc le projeté d'un tétraèdre régulier !

Groupe des isométries ordre 24 : 12 rotations et 12 antirotations
ce groupe est isomorphe à S4 (action simple et transitive sur les 4 sommets, ou les 4 faces).
Isométries permutations sur les sommets correspondantes
12 rotations : identité, 8 tiers de tours, 3 demi-tours 12 permutations paires : identité, 8 cycles d'ordre 3, 3 produits de 2 transpositions disjointes
12 antirotations : 6 réflexions, 6 réflexions-rotations d'angle droit 12 permutations impaires : 6 transpositions, 6 cycles d'ordre 4.
Pavage Le tétraèdre régulier ne pave pas l'espace, mais il le fait en association avec l'octaèdre régulier.
Polyèdres dérivés par troncature forte : octaèdre ; par troncature faible : tétraèdre tronqué ; par chanfreinage : cuboctaèdre ; par adoucissement : icosaèdre ; par augmentation : triaki-tétraèdre .
Avatars le tétraèdre de Sierpinski, le tétraèdre de Reulaux, la surface de Kümmer.

 
Le tétraèdre régulier donne une réponse au problème dit "des dictateurs ennemis" dans le cas n = 4 : quel est la taille maximale de n calottes sphériques identiques (les états de chaque dictateur) de sorte qu'elles puissent se répartir sur une sphère sans se chevaucher, et quelle est alors leur disposition ?
Réponse : les 4 calottes maximales ont un angle au centre de rd, soit 109° 28' 16" et sont centrées aux sommets d'un tetraèdre régulier. Les états occupent alors 61 % de la surface totale.
Sources : Marcel Berger, pour la Science 176, p. 72 et dossier Pour la Science 41 p. 40.

La figure ci-contre montre également que le squelette de l'octaèdre régulier fournit, par projection sur la sphère circonscrite, un pavage régulier de la sphère par 4 triangles équilatéraux sphériques.


 
Le tétraèdre et son symétrique par rapport à son centre forment un polyèdre composé appelé stella octangula par Képler, octangle étoilé en francais ; ses sommets sont ceux d'un cube et la partie commune est un octaèdre.
La surface de Cayley : pour  fournit un beau tétraèdre aux arêtes arrondies.

Voir plus généralement les surfaces cubiques ayant les symétries du tétraèdre à surface de Goursat.

Voir aussi la généralisation au simplexe.
 
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© Robert FERRÉOL 2011