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SIMPLEXE ou HYPERTÉTRAÈDRE
Simplexe or hypertetrahedron, Simplex oder Hypertetraeder


Simplexe : nom donné par Schoute en 1902, car c'est la configuration la plus simple en dimension n.

La notion de simplexe est la généralisation à une dimension quelconque de celle de triangle en dimension 2, ou celle de tétraèdre en dimension 3.

Un simplexe de dimension n est un polytope de dimension n à n + 1 sommets, nombre minimal possible ; il n'en existe qu'un seul type, équivalent au simplexe régulier dont voici la carte de visite :
 
Famille polytope régulier
Dual lui-même
Symbole de Schläfli {3,3,..,3}  (3 hyperfaces entourant chaque (n-3)-cellule)
(n - 1) - cellules n + 1  simplexes de dimension n -1
k - cellules simplexes de dimension k, appartenant chacun à  q - cellules () et contenant chacun q - cellules ()
tout groupement de k+1 sommets forme une k-cellule
Arêtes arêtes de longueur a, appartenant chacune à  k-cellules
Sommets n + 1 sommets, appartenant chacun à  k - cellules
Graphe des arêtes graphe complet d'ordre n + 1
Diamètres sphère inscrite; hypersphère circonscrite :
Mensurations mesure n-dimensionnelle du simplexe régulier plein : 
mesure n-1-dimensionnelle de sa frontière :
Coordonnées 
des sommets
simples, mais dans  : prendre les n+1 éléments de la base canonique (l'arête vaut alors ).
dans , prendre les colonnes de la matrice à n lignes et n+1 colonnes : avec .
Groupe des isométries ordre n!
Polytopes dérivés

Les cellules du cocube sont des simplexes.

Voir page suivante le cas du simplexe de dimension 4.
 
 
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© Robert FERRÉOL 2010