La notion de polytope est la généralisation à une dimension quelconque de celle de polygone et de polyèdre pour les dimensions 2 et 3.

On peut la définir par récurrence de la façon suivante :

Dans l'espace euclidien à n dimensions E_n, un polytope P de dimension n (ou n-polytope) est un ensemble fini non vide de n -1-polytopes (les n - 1-cellules ou hyperfaces de P) situés dans des sous-espaces de dimension n - 1 de E_n , tels que
    1) chaque hyperface (n-2-cellule) de chaque hyperface ( n - 1-cellule) de P coïncide avec une n - 2-cellule d'une seule autre hyperface de P, laquelle n'est pas dans le même hyperplan que la première.
    2) deux hyperfaces de P sont toujours reliés par une suite d'hyperfaces ayant chacune une hyperface commune avec la suivante (condition de connexité).
    3) deux  hyperfaces n'ont aucun point intérieur en commun (condition de non croisement)

Les cellules des hyperfaces de P sont décrétées êtres aussi les cellules du polytope P ; un n-polytope possède au moins  k-cellules.

On classe les n-polytopes suivant leur nombre d'hyperfaces appelé l'ordre du polytope, en utilisant les suffixes grecs suivants :
 

			4	5	6	7	8	9	10
			tétra	penta	hexa	hepta	octa	ennéa	déca

 

11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
hendéca ou undéca	dodéca	triadéca	tétradéca	le suffixe ...	...ci-dessus..	plus déca	...	...	icosa

 

21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
icosiéna	icosidi	icositri	icositétra	icosi plus le...	...suffixe....	...ci-dessus	...	...	triaconta

 

31	33		40	50	60	70	80	90	100	1000	10000
triacontaéna	triacontadi	etc.	tétraconta	pentaconta	hexaconta	heptaconta	octaconta	ennéaconta	hecta	kilia	myria

Le nombre de k-cellules qui aboutissent à un sommet est le k-degré du sommet, toujours ³ n.

La frontière du polytope est la réunion des hyperfaces pleines ; c'est une variété de dimension n - 1 connexe compacte plongée dans Rⁿ ; le polytope est dit simple lorsque sa frontière est homéomorphe à l'hypersphère de dimension n -1 S^n-1. Les nombres  de k-cellules d'un n-polytope sont alors reliés par la relation d'Euler-Poincaré : .

Le squelette du polytope est la réunion de ses arêtes pleines.

Le polytope plein est la réunion de sa frontière et des points "intérieurs" à cette frontière, c'est-à-dire ceux qui sont tels que toute courbe continue partant d'un tel point et allant à l'infini rencontre la frontière.

Deux polytopes sont dits (combinatoirement) équivalents s'il existe une bijection entre les sommets, conservant toutes les cellules. Une classe d'équivalence est un type de polytope.

Un polytope est dit convexe si le polytope plein est convexe ; toutes les cellules sont alors convexes, et le polytope plein est l'enveloppe convexe de ses sommets.

Un polytope convexe est simple et le polytope plein est alors l'enveloppe convexe des sommets. Une partie bornée de E_n  est un polytope plein convexe sssi c'est une intersection d'un nombre fini de demi-espaces fermés.

Tout polytope simple est équivalent à un polytope convexe.

Un polytope convexe est dit inscriptible, si ses sommets sont situés sur une (hyper)sphère de dimension n -1 .
Un polytope convexe est dit circonscriptible, si ses n-1 cellules prolongées sont tangentes à une même (hyper)sphère de dimension n -1 ; cette condition équivaut à ce que son dual obtenu par polarité par rapport à une sphère soit inscrit dans cette sphère.

Voir le cas particulier des 4-polytopes, ou polychores.

Voir aussi : http://www.csd.uwo.ca/~morey/CogEng/Polyvise.html
 
 

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courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2005