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PARALLÉLOTOPE
Parallelotope


La notion de parallélotope est la généralisation à la dimension n de celle de parallélogramme en 2D et de celle de parallélépipède en 3D.

On peut les définir par récurrence en partant des segments en disant qu'un parallélotope de dimension n résulte de la translation d'un parallélotope de dimension n1 dans une direction autre que celle de l'hyperplan de ce parallélotope.
On peut donc caractériser les parallélotopes comme :
    - les hyperprismes dont les deux bases sont des parallélotopes
    - les hyperprismes dont toutes les cellules sont elles-mêmes des hyperprismes
    - les zonotopes de dimnsion n engendrés par n segments de base. Un parallélotope plein de dimension n est donc la somme de Minkowski de n segments situés dans des directions indépendantes.

Autre condition nécessaire et suffisante pour qu'un polytope de dimension n soit un parallélotope : avoir 2n hyperfaces se regroupant en n couples d'hyperfaces parallèles.

Par contre, un polytope de dimension n peut avoir toutes ses k-cellules avec k <n qui sont des parallélotopes sans être un parallélotope (par exemple le dodécaèdre rhombique en dimension 3).

Un parallélotope de dimension n dont les arêtes ont même longueur est appelé un rhombotope ; toutes les cellules sont alors des rhombotopes (généralisation de la notion de losange en 2D et de rhomboèdre en 3D) ; CNS : parallélotope dont toutes les k-cellules (pour un k fixé) sont isométriques.

Un parallélotope à hyperfaces contiguës orthogonales est dit rectangle, et parfois désigné orthotope.

Les rhombotopes rectangles sont les hypercubes.

Inversement, les parallélotopes sont les déformations affines de l'hypercube. Se référer donc à la page hypercube pour les nombres de k-cellules et autres propriétés combinatoires.

Attention : la notion de parallélotope n'est pas la généralisation à une dimension quelconque de celle de paralléloèdre (= polyèdre pavant l'espace par translations) ; les parallélotopes pavent l'espace de dimension n par translations mais ce ne sont pas les seuls. Nous désignerons ces derniers polytopes par "parallélotopes généralisés".

Autant les les parallélogones tous des zonogones, et les paralléloèdres tous des zonoèdres , en dimension supérieure ou égale à 4 il existe des parallotopes généralisés qui ne sont pas des zonotopes. Par exemple, le 24-cellules dont les faces sont des triangles, donc qui n'est pas un zonotope, pave l'espace par translations.
 
 
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© Robert FERRÉOL 2015