polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

HYPERGRANATOÈDRE
24-cell, 24-Zell

Origine du nom de hyper et granatoèdre, autre nom du dodécaèdre rhombique (à cause de sa construction similaire à celui-ci)
Autres noms C24, 24 cellules, icositétrachore, icositétratope (de icosi "20" et tétra "4"), polyoctaèdre, octaplexe (= complexe d'octaèdres)
Famille polychore régulier
Dual lui-même
Symbole de Schläfli {3, 4, 3} (3 cellules autour de chaque arête)
Cellules 24 octaèdres
Faces 96 triangles
Arêtes 96 arêtes de longueur a communes chacune à 3 faces et 3 cellules
Sommets 24 sommets ; à chaque sommet aboutissent 8 arêtes, 12 triangles et 6 octaèdres
Base de calotte cube
Patrons environ 1,8. 1016 patrons différents en tout
Graphe des arêtes graphe à 24 sommets régulier de degré 8 ; voir ici des renseignements suppplémentaires
Diamètres hypersphère inscrite : 2 a ; hypersphère circonscrite : ????a
Mensurations hypervolume :       volume de sa frontière : 
Construction augmentation d'un 4-hypercube (coller huit hyperpyramides à base cubiques sur les huit cellules de l'hypercube)
troncature d'un 4-hyperoctaèdre (les sommets de l'hypergranatoèdre sont les milieux des 24 arêtes de l'hyperoctaèdre).
Coordonnées 
des sommets
(±2, 0, 0, 0) et permutés (8 sommets d'un hyperoctaèdre)
(±1, ±1, ±1, ±1)  (16 sommets d'un hypercube) pour une longueur d'arête a = 2

ou bien  (±1, ±1, 0, 0) et permutés pour une longueur d'arête a
Ci-dessous, la liste des arêtes, dans le premier cas :
[[[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, -1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, -1, 1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, 1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, -1, 1, 1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, -1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, -1, 1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, 1, -1]], [[-2, 0, 0, 0], [-1, 1, 1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, -1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, -1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, 1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, -1, 1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, -1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, -1, 1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, 1, -1]], [[2, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, -1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, -1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, 1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [-1, -1, 1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, -1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, -1, 1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, 1, -1]], [[0, -2, 0, 0], [1, -1, 1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, -1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, -1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, 1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [-1, 1, 1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, -1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, -1, 1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, 1, -1]], [[0, 2, 0, 0], [1, 1, 1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, -1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, -1, -1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, 1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [-1, 1, -1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [1, -1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [1, -1, -1, 1]], [[0, 0, -2, 0], [1, 1, -1, -1]], [[0, 0, -2, 0], [1, 1, -1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [-1, 1, 1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 2, 0], [1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 2, 0], [1, 1, 1, 1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, -1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, 1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [-1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, -1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, -1, 1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, 1, -1, -1]], [[0, 0, 0, -2], [1, 1, 1, -1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, -1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, 1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [-1, 1, 1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, -1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, -1, 1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, 1, -1, 1]], [[0, 0, 0, 2], [1, 1, 1, 1]], [[-1, -1, -1, -1], [-1, -1, -1, 1]], [[-1, -1, -1, -1], [-1, -1, 1, -1]], [[-1, -1, -1, -1], [-1, 1, -1, -1]], [[-1, -1, -1, -1], [1, -1, -1, -1]], [[-1, -1, -1, 1], [-1, -1, 1, 1]], [[-1, -1, -1, 1], [-1, 1, -1, 1]], [[-1, -1, -1, 1], [1, -1, -1, 1]], [[-1, -1, 1, -1], [-1, -1, 1, 1]], [[-1, -1, 1, -1], [-1, 1, 1, -1]], [[-1, -1, 1, -1], [1, -1, 1, -1]], [[-1, -1, 1, 1], [-1, 1, 1, 1]], [[-1, -1, 1, 1], [1, -1, 1, 1]], [[-1, 1, -1, -1], [-1, 1, -1, 1]], [[-1, 1, -1, -1], [-1, 1, 1, -1]], [[-1, 1, -1, -1], [1, 1, -1, -1]], [[-1, 1, -1, 1], [-1, 1, 1, 1]], [[-1, 1, -1, 1], [1, 1, -1, 1]], [[-1, 1, 1, -1], [-1, 1, 1, 1]], [[-1, 1, 1, -1], [1, 1, 1, -1]], [[-1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]], [[1, -1, -1, -1], [1, -1, -1, 1]], [[1, -1, -1, -1], [1, -1, 1, -1]], [[1, -1, -1, -1], [1, 1, -1, -1]], [[1, -1, -1, 1], [1, -1, 1, 1]], [[1, -1, -1, 1], [1, 1, -1, 1]], [[1, -1, 1, -1], [1, -1, 1, 1]], [[1, -1, 1, -1], [1, 1, 1, -1]], [[1, -1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]], [[1, 1, -1, -1], [1, 1, -1, 1]], [[1, 1, -1, -1], [1, 1, 1, -1]], [[1, 1, -1, 1], [1, 1, 1, 1]], [[1, 1, 1, -1], [1, 1, 1, 1]]]

Groupe des isométries d'ordre 2.242 = 1152, dont la symétrie centrale.
Remarques : pave l'espace de dimension 4, comme l'hypercube et l'hyperoctaèdre (considérer un pavage d'hypercubes et former dans un hypercube sur 2 les 8 hyperpyramides de base une cellule et de sommet le centre de l'hypercube, et les accoler aux hypercubes contigus afin de former des hypergranatoèdres) 
seul polytope régulier autodual ayant un centre de symétrie
Sites en.wikipedia.org/wiki/24-cell
http://mathworld.wolfram.com/24-Cell.html
www.polytope.de/c24.html
eusebeia.dyndns.org/4d/24-cell.html
www.bathsheba.com/math/24cell/index.html
www.science.psu.edu/alert/math10-2005.htm
en.wikipedia.org/wiki/Octacube_(mathematics)
Voir aussi : pour la science, mars 2006 p.96

Les sommets de l'hypergranatoèdre sont les centres des 24 faces d'un hypercube ; les arètes de l'hypergranatoèdre sont alors les 96 = 8.12 arêtes des 8 octaèdres déterminés par les milieux des faces des 8 cellules de l'hypercube.


Gravure réalisée par Patrice Jeener, avec son aimable autorisation.


polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL 2012