Icosaèdre

ICOSAÈDRE
Icosahedron, Ikosaeder

Du grec "Ikosa" vingt, et "edros" siège, base.
Vues Povray de cette page réalisées par Alain Esculier.
Lien : mathematische-basteleien.de/ikosaeder.htm

Un icosaèdre est un polyèdre à vingt faces.

Le plus célèbre est l'icosaèdre régulier dont voici la carte de visite :

Famille polyèdre régulier, et aussi antidiamant.

Historique solide connu de Platon en 370 av. J.C.

Dual dodécaèdre régulier ¬ dual polaire de l'icosaèdre par rapport à sa sphère circonscrite

Faces 20 triangles

Sommets 12 sommets de degré 5, de code de Schläfli 3⁵

Arêtes 30 arêtes de longueur a ; angle dièdre : rd, soit 138° 11' 23"

Patrons Il y en a 43380 en tout (comme pour le dodécaèdre)

Graphe

Diamètres sphère inscrite : ; intersphère (tangente aux arêtes) : ; sphère circonscrite :
où est le nombre d'or.

Mensurations volume : aire : rapport volume/(volume de la sphère circonscrite) : 61%
coefficient isopérimétrique :
(meilleur coefficient isopérimétrique des polyèdres réguliers)

Coordonnées
des 12 sommets
(voir le repère dans
la première vue ci-dessus) permutés circulairement,
2 sommets étant reliés par une arête ssi leur distance vaut a.

Équations des 20 plans faces , et ses 3 permutés, et ses 3 permutés.

Équation de la surface (idée de Bernard Dupuy)

Constructions 1) à partir de 3 rectangles d'or (rapport longueur/largeur égal au nombre d'or) 2 à 2 orthogonaux 2) à partir d'un antiprisme pentagonal à faces régulières augmenté de deux pyramides pentagonales à faces régulières.
++
3) par adoucissement du tétraèdre.
4) Par troncature d'un octaèdre (voir ci-dessous)
5) par la méthode de Buckminster (voir ci-dessous)

Plans de symétrie les 15 plans contenant deux arêtes opposées

Axes de rotation

15 axes passant par les milieux de 2 arêtes opposées (1 rotation d'ordre 2 par axe)

10 axes passant par les centres de 2 faces opposées (2 rotations d'ordre 3 par axe)

6 axes passant par 2 sommets opposés (4 rotations d'ordre 5 par axe)

Groupe des isométries ordre 120 : 60 rotations (l'identité, 12 cinquièmes de tours, 12 deux cinquièmes de tours, 20 tiers de tours, 15 demi-tours) et 60 antirotations (produits des précédentes par la symétrie de centre O, dont 15 réflexions)
Le sous-groupe des 60 rotations est isomorphe au groupe A₅ des permutations paires de 5 objets (action sur un ensemble de 5 tétraèdres réguliers inscrits).

Polyèdres dérivés troncature forte : icosidodécaèdre ; troncature faible : icosaèdre tronqué ; adoucissement : dodécaèdre adouci ; facettage : icosidodécaèdre tronqué ; augmentation : triaki-icosaèdre, triacontaèdre rhombique, hexaki-icosaèdre
Trois polyèdres réguliers étoilés ont les mêmes sommets que l'icosaèdre :
le petit dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre et le grand icosaèdre.
Voir aussi les dômes géodésiques, l'hypericosaèdre et un bel icosaèdre arrondi comme surface de Goursat.

Si l'on effectue la construction par les trois rectangles 2 à 2 orthogonaux avec des rectangles quelconques, on obtient successivement l'octaèdre, l'icosaèdre, et le cuboctaèdre.

Hochet utilisant cette construction.

Lorsque l'on tronque progressivement les sommets d'un octaèdre, on fait apparaître 8 faces hexagonales irrégulières ; mais si l'on prend un sommet sur deux sur ces faces, on obtient un assemblage de 8 triangles équilatéraux, que l'on peut compléter par 12 triangles isocèles (2 par sommet de l'octaèdre). Il existe un moment où ces triangles isocèles sont équilatéraux, ce qui donne alors l'icosaèdre régulier.
Attention, à ce moment l'octaèdre "tronqué" n'est pas l'"octaèdre tronqué" semi-régulier.

La construction suivante de l'icosaèdre a été découverte par Richard Buckminster Fuller ; si un triangle équilatéral de côté fixé et d'axe de symétrie d'ordre 3 la droite x = y = z est contraint d'avoir ses 3 sommets dans les 3 plans de coordonnées, ses sommets décrivent des ellipses (celle du plan xOy est définie par ) ...

... Et si l'on effectue toutes les symétries de ce triangle par rapport aux plans de coordonnées, on obtient 8 triangles qui ont 3 positions remarquables ; l'une correspond à l'octaèdre, une deuxième au cuboctaèdre, et entre les deux, lorsque les ouvertures créées sont formées de deux triangles équilatéraux identiques au précédent, on obtient l'icosaèdre régulier...

...Le mouvement a été baptisé par Buckminster "jitterbug", nom d'une danse.
Voir aussi cette vidéo et ce texte.
Cette construction de l'icosaèdre est en fait, à homothétie près, la même que la précédente, ainsi que de l'antéprécédente.

Si l'on remplace les 20 sommets de coordonnées par ceux de coordonnées , on obtient un polyèdre non convexe dont les faces se coupent à angle droit, appelé icosaèdre de Jessen.

Projection centrale du squelette de l'icosaèdre sur la sphère circonscrite : on obtient un pavage régulier de la sphère par 20 triangles sphériques équilatéraux ; L'icosaèdre étant le polyèdre régulier ayant le maximum de faces, ce nombre de triangles équilatéraux est le plus grand possible.

Le problème dit "de la treizième sphère", ou "du nombre d'embrassades" (kissing number).
Le rapport de l'icosaèdre étant légèrement supérieur à 1, on peut placer les centres de 12 sphères de rayon 1 aux sommets d'un icosaèdre régulier de rayon 2, sans qu'elles ne se chevauchent. Ces douze sphères étant tangentes à la sphère centrale de rayon 1, ceci montre que l'on peut placer 12 sphères autour d'une même sphère, toutes les sphères ayant même rayon (voir aussi la solution cuboctaèdrique). Au XVII^e siècle, le mathématicien David Grégory, pensait qu'il restait suffisamment de place pour une treizième sphère, mais il a été démontré en 1874 que cette conjecture est fausse.

Par projection, ce problème est équivalent à celui consistant à placer sur une sphère un nombre maximal de calottes sphériques d'angle au centre 60°. Le maximum est douze, mais on voit bien sur la figure ci-contre que la solution icosaédrique n'est pas unique.
Sources : Ian Stewart, Pour la Science 174, p. 102. et Marcel Berger, dossier Pour la Science 41 p. 68.
Le ballon de foot ci-contre a-t-il été réalisé en liaison avec ce problème ?

L'icosaèdre donne également une réponse au problème dit "des dictateurs ennemis" dans le cas n = 12 : quel est la taille maximale de n calottes sphériques identiques (les états de chaque dictateur) de sorte qu'elles puissent se répartir sur une sphère sans se chevaucher, et quelle est alors leur disposition ?
Réponse : les 12 calottes maximales ont un angle au centre de et sont centrées aux sommets d'un icosaèdre régulier. Les états occupent alors 89,6% de la surface totale.
Sources : Marcel Berger, pour la Science 176, p. 72 et dossier Pour la Science 41 p. 40.

Ci-contre, polyèdre composé formé de l'icosaèdre et du dodécaèdre dual polaire par rapport à la sphère tangente aux arêtes ; la partie commune est l'icosidodécaèdre.

Jolie décoration pour ce ballon de foot : les centres des étoiles sont aux sommets d'un icosaèdre régulier. Icosaèdre à la "Léonard de Vinci" réalisé par Patrice Gaumeton, ébéniste à Paris. Radiolaire icosaédrique dessiné par Ernst Haeckel en 1887.

Logo d'un centre de recherche reprenant la construction de l'icosaèdre.

polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

	La construction suivante de l'icosaèdre a été découverte par Richard Buckminster Fuller ; si un triangle équilatéral de côté fixé et d'axe de symétrie d'ordre 3 la droite x = y = z est contraint d'avoir ses 3 sommets dans les 3 plans de coordonnées, ses sommets décrivent des ellipses (celle du plan xOy est définie par ) ...
	... Et si l'on effectue toutes les symétries de ce triangle par rapport aux plans de coordonnées, on obtient 8 triangles qui ont 3 positions remarquables ; l'une correspond à l'octaèdre, une deuxième au cuboctaèdre, et entre les deux, lorsque les ouvertures créées sont formées de deux triangles équilatéraux identiques au précédent, on obtient l'icosaèdre régulier...
	...Le mouvement a été baptisé par Buckminster "jitterbug", nom d'une danse. Voir aussi cette vidéo et ce texte. Cette construction de l'icosaèdre est en fait, à homothétie près, la même que la précédente, ainsi que de l'antéprécédente.
	Si l'on remplace les 20 sommets de coordonnées par ceux de coordonnées , on obtient un polyèdre non convexe dont les faces se coupent à angle droit, appelé icosaèdre de Jessen.


Jolie décoration pour ce ballon de foot : les centres des étoiles sont aux sommets d'un icosaèdre régulier.	Icosaèdre à la "Léonard de Vinci" réalisé par Patrice Gaumeton, ébéniste à Paris.	Radiolaire icosaédrique dessiné par Ernst Haeckel en 1887.