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OCTAÈDRE
Octahedron, Oktaeder

Du grec "Okta" huit et "edros" siège, base.
Autre nom : cocube (dual du cube).
Lien : mathematische-basteleien.de/oktaeder.htm

Un octaèdre est un polyèdre à huit faces.

Il existe 257 types d'octaèdres dont voici la répartition suivant le nombre de sommets :
 
Nombre de sommets 6 7 8 9 10 11 12
Nombre d'octaèdres 2 11 42 74 76 38 14

On trouve par exemple le tétraèdre tronqué, mais le plus célèbre octaèdre est l'octaèdre régulier dont voici la carte de visite :
 
 
autre nom
Famille polyèdres réguliers, mais il fait aussi partie des antiprismes, ainsi que des diamants.
Dual cube , ¬ dual polaire de l'octaèdre par rapport à sa sphère circonscrite
faces 8 triangles
Sommets 6 sommets de degré 4, de code de Schläfli 34
Arêtes 12 arêtes de longueur a ; angle dièdre : rd, soit 109° 28' 16".
Patrons
Il y en a 11 en tout.
Graphe des arêtes
Voir d'autres représentations sur mathworld.
Diamètres sphère inscrite ; intersphère (tangente aux arêtes) : a ; sphère circonscrite : a.
Mensurations volume : a3/3     aire : 2a² coefficient isopérimétrique : 
Coordonnées 
des sommets
avec 
2 sommets étant reliés par une arête ss'ils n'ont pas des coordonnées opposées.
Les sommets d'une face sont formée de 3 points où les coordonnées non nulles ne sont pas à la même place.
Équation cartésienne de l'octaèdre plein :  donnant la réunion des faces.
Plans de symétrie 3 contenant 4 arêtes, 6 passant par les milieux de 2 arêtes opposées et par 2 sommets.
Constructions 1) tétraèdre.fortement tronqué
2) antiprisme à base triangulaire et faces régulières : 
Axes de rotation
3 passant par 2 sommets opposés (2 rotations d'ordre 4 et une d'ordre 2 par axe)
4 passant par les centres de 2 faces opposées (2 rotations d'ordre 3  par axe)
6 passant par les milieux d'arêtes opposées (1 rotation d'ordre 2  par axe)
Groupe des isométries ordre 48 : 24 rotations (l'identité, 6 quarts de tour, 8 tiers de tour, 9 demi-tours) 
et 24 antirotations (produits des précédentes par la symétrie de centre O, dont 9 réflexions)
Le sous-groupe des 24 rotations est isomorphe à S4.
Pavage L'octaèdre régulier ne pave pas l'espace, mais il le fait en association avec le tétraèdre régulier, voir ci-dessous.
Polyèdres dérivés par troncature forte : cuboctaèdre ; par troncature faible : octaèdre tronqué ; par facettage : cuboctaèdre tronqué ; par augmentation : triaki-octaèdre, dodécaèdre rhombique ; hexaki-octaèdre ; par adoucissement : cube adouci.
Polyèdre croisé ayant les mêmes arêtes : le tétrahémihexaèdre.

 
Construction d'un octaèdre à partir de cubes, par la méthode de l'abbé René-Just Haüy ; on part d'un cube, on place 6 cubes sur chaque faces, puis 18 cubes de façon à recouvrir toutes les faces, et ainsi de suite. Si l'on ramène par homothétie les solides ainsi construits à des solides de diamètre constant, le solide limite est un octaèdre (mais attention, l'aire latérale ne tend pas vers celle de l'octaèdre !)

 
Même disposition, mais avec des octaèdres. La figure va finir par occuper tout l'espace, avec des trous dans lesquels on peut loger exactement des tétraèdres réguliers.
On obtient donc ainsi un pavage bord à bord de l'espace par des polyèdres réguliers, avec des dispositions identiques autour des sommets (6 octaèdres et 8 tétraèdres) ; c'est donc un pavage semi-régulier de l'espace, et c'est d'ailleurs le seul, excepté le pavage par des cubes.
L'octaèdre régulier donne une réponse au problème dit "des dictateurs ennemis" dans le cas n = 6 : "quelle est la taille maximale de n calottes sphériques identiques (les états de chaque dictateur) se répartissant sur une sphère sans se chevaucher, et quelle est alors leur disposition ?"
Réponse : les 6 calottes maximales ont un angle au centre de 90° et sont centrées aux sommets d'un octaèdre régulier. Les états occupent alors 87,9 % de la surface totale.
Sources : Marcel Berger, Pour la Science 176, p. 72 et dossier Pour la Science 41 p. 40.

 
Les 12 arêtes de l'octaèdre se regroupent en 3 carrés dont les plans se coupent à angles droits.
Projetés sur la sphère circonscrite, ces 3 carrés deviennent 3 grands cercles deux à deux orthogonaux, découpant un pavage régulier de la sphère par 8 triangles équilatéraux sphériques.
Entrelacés alternativement "dessus-dessous", ces 3 cercles fournissent un entrelacs premier qui n'est autre que l'entrelacs des anneaux de Borromée.
A droite, une version où les trois cercles ont été déformés en des ellipses, tout en restant dans leur plan.
Le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre présentent un phénomène similaire.

 
Polyèdre composé formé de l'octaèdre et du cube dual polaire par rapport à la sphère tangente aux arêtes ; la partie commune est le cuboctaèdre. L'enveloppe des sommets est le dodécaèdre rhombique.

Voir aussi l'hyperoctaèdre.
 

Cristal octaédrique de fluorite
Radiolaire octaédrique dessiné par Ernst Haeckel en 1887

 

Anaglyphe à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite).

Réseau tentaculaire se développant suivant la méthode de l'abbé René-Just Haüy décrite ci-dessus tiré de "la fièvre d'Urbicande" de Schuiten et Peeters.

 
 
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© Robert FERRÉOL 2016