Un octaèdre est un polyèdre à huit faces.

Il existe 257 types d'octaèdres dont voici la répartition suivant le nombre de sommets :
 

Nombre de sommets	6	7	8	9	10	11	12
Nombre d'octaèdres	2	11	42	74	76	38	14

 

On trouve par exemple le tétraèdre tronqué, mais le plus célèbre octaèdre est l'octaèdre régulier dont voici la carte de visite :
 
 

autre nom
Famille	polyèdres réguliers, mais il fait aussi partie des antiprismes, ainsi que des diamants.
Dual	cube , ¬ dual polaire de l'octaèdre par rapport à sa sphère circonscrite
faces	8 triangles
Sommets	6 sommets de degré 4, de code de Schläfli 34
Arêtes	12 arêtes de longueur a ; angle dièdre : rd, soit 109° 28' 16".
Patrons	Il y en a 11 en tout.
Graphe des arêtes	Voir d'autres représentations sur mathworld.
Diamètres	sphère inscrite :  ; intersphère (tangente aux arêtes) : a ; sphère circonscrite : a.
Mensurations	volume : a3/3     aire : 2a²    coefficient isopérimétrique :
Coordonnées  des sommets	avec  2 sommets étant reliés par une arête ss'ils n'ont pas des coordonnées opposées. Les sommets d'une face sont formée de 3 points où les coordonnées non nulles ne sont pas à la même place. Équation cartésienne de l'octaèdre plein : ,  donnant la réunion des faces.
Plans de symétrie	3 contenant 4 arêtes, 6 passant par les milieux de 2 arêtes opposées et par 2 sommets.
Constructions	1) tétraèdre.fortement tronqué 2) antiprisme à base triangulaire et faces régulières :
Axes de rotation	3 passant par 2 sommets opposés (2 rotations d'ordre 4 et une d'ordre 2 par axe) 4 passant par les centres de 2 faces opposées (2 rotations d'ordre 3  par axe) 6 passant par les milieux d'arêtes opposées (1 rotation d'ordre 2  par axe)
Groupe des isométries	ordre 48 : 24 rotations (l'identité, 6 quarts de tour, 8 tiers de tour, 9 demi-tours)  et 24 antirotations (produits des précédentes par la symétrie de centre O, dont 9 réflexions) Le sous-groupe des 24 rotations est isomorphe à S4.
Polyèdres dérivés	par troncature forte : cuboctaèdre ; par troncature faible : octaèdre tronqué ; par facettage : cuboctaèdre tronqué ; par augmentation : triaki-octaèdre, dodécaèdre rhombique ; hexaki-octaèdre ; par adoucissement : cube adouci. Polyèdre croisé ayant les mêmes arêtes : le tétrahémihexaèdre.

 

Construction d'un octaèdre à partir de cubes, par la méthode de l'abbé René-Just Haüy ; on part d'un cube, on place 6 cubes sur chaque faces, puis 18 cubes de façon à recouvrir toutes les faces, et ainsi de suite. Si l'on ramène par homothétie les solides ainsi construits à des solides de diamètre constant, le solide limite est un octaèdre (mais attention, l'aire latérale ne tend pas vers celle de l'octaèdre !)

 

L'octaèdre régulier donne une réponse au problème dit "des dictateurs ennemis" dans le cas n = 6 : quel est la taille maximale de n calottes sphériques identiques (les états de chaque dictateur) de sorte qu'elles puissent se répartir sur une sphère sans se chevaucher, et quelle est alors leur disposition ? Réponse : les 6 calottes maximales ont un angle au centre de 90° et sont centrées aux sommets d'un octaèdre régulier. Les états occupent alors 87,9 % de la surface totale. Sources : Marcel Berger, Pour la Science 176, p. 72 et dossier Pour la Science 41 p. 40. La figure ci-contre montre également que le squelette de l'octaèdre régulier fournit, par projection sur la sphère circonscrite, un pavage régulier de la sphère par 8 triangles équilatéraux sphériques, obtenu par la réunion de 3 grands cercles deux à deux orthogonaux.

 

Polyèdre composé formé de l'octaèdre et du cube dual polaire par rapport à la sphère tangente aux arêtes ; la partie commune est le cuboctaèdre. L'enveloppe des sommets est le dodécaèdre rhombique.

Voir aussi l'hyperoctaèdre.
 

Cristal octaédrique de fluorite

Radiolaire octaédrique dessiné par Ernst Haeckel en 1887

 

Anaglyphe à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite).

Réseau tentaculaire se développant suivant la méthode de l'abbé René-Just Haüy décrite ci-dessus tiré de "la fièvre d'Urbicande" de Schuiten et Peeters.

 
 

polyèdre suivant

polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2005