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SURFACE DE GOURSAT
Goursat's surface, Goursatsche Fläche


Famille de surfaces étudiée par Goursat en 1887.
Edouard Goursat (1858 - 1936) : mathématicien français.

 
Équation cartésienne :  (l'un des deux nombres k' ou k" pouvant être fixé arbitrairement à 0, 1 ou 1).
Surface quartique.

Les surfaces (octaédriques - mieux vaut éviter "cubiques") de Goursat sont les surfaces quartiques ayant les symétries du cube (ou, ce qui revient au même, de l'octaèdre).
Plus précisément, ce sont les quartiques dont le groupes des isométries les laissant invariantes est le même que celui du cube.
La forme générale en coordonnées cartésienne est donnée ci-dessus.

Quelques cas particuliers remarquables :
 
Vue obtenue par Maple (k, k', k") Équation, commentaires Vue povray, par Alain Esculier
(0, 1, 0)
Cube arrondi passant par les sommets, les milieux des arêtes , et les centres des faces  du cube.
 
(1,1/4,1/4)
Octaèdre arrondi passant par les sommets  et les milieux des arêtes  de l'octaèdre.
 
(1, 1, 1)  
(0, 2, 2)
Surface possédant 12 points singuliers  aux sommets d'un cuboctaèdre.
(1/2, -1, 1/2)

Surface contenant les 12 arêtes prolongées de l'octaèdre, par exemple .

Elle est à l'octaèdre ce qu'est la surface de Cayley au tétraèdre.

(1/2, 1, -3/2)

Surface contenant les 12 diagonales des faces du cube , par exemple x = y , z= a.

Elle est au cube ce qu'est la précédente à l'octaèdre.

(1, 4, 6) .

Surface contenant les 12 arêtes prolongées du cube , par exemple x = y = a.

 

  Même surface que précédemment !
(1, 2, 2)
Surface possédant 12 points singuliers  aux sommets d'un cuboctaèdre et contenant les 12 médianes prolongées des faces d'un cube, par exemple, z = 0, x = a. Elle est formée de 6 nappes de bases les faces carrées du cuboctaèdre.
(-1/3,-2/3,2/3)

Surface possédant 12 points singuliers  aux sommets d'un cuboctaèdre. Elle est formée de 8 nappes de bases les faces triangulaires du cuboctaèdre.
 

 
Animation du cas  plus un exemple avec k" = 0,02.

Plus généralement, les surfaces de Goursat sont les surfaces algébriques ayant les symétries d'un polyèdre régulier, les plus simples après la sphère.

Les surfaces tétraédriques de Goursat, de degré 3, ont pour équation générale .
Pour k' = 0, on obtient la surface de Titeica;, et dans les autres cas, quitte à changer a en a/k', on peut supposer k' = 1, et on obtient la famille à un paramètre  qui se comporte comme suit :
 
k < 0, k = 0
Quatre nappes, plus, dans le cas k = 0, le point O isolé.
0 < k < 4
Un tétraèdre arrondi plus 4 nappes.
k = 4
Surface de Cayley
k > 4
Vues de la quartique d'équation 

qui possède les symétries du tétraèdre (remarquer les 4 points "triconiques ",  avec un nombre impair de moins).

Les surfaces dodécaédriques de Goursat, de degré 6, ont pour équation générale :

Quelques cas particuliers remarquables :
 
  (k, k',k",k''') Équation, commentaires
(0, 0, 0, 0)

soit

Surface se décomposant en les 6 plans passant par les arêtes d'un icosidodécaèdre(le plan z = 0, le plan z = 2x et ses 4 images par les rotations d'angle  autour de Oz).
(1,1,1,1) Dodécaèdre arrondi.
(1,0,1,1) Icosaèdre arrondi
(0,1,2,1) Surface possédant 30 points singuliers aux sommets d'un icosidodécaèdre. Elle est formée de 20 nappes de bases les faces triangulaires de l'icosidodécaèdre.
(0,1,2,1) Surface possédant 30 points singuliers aux sommets d'un icosidodécaèdre. Elle est formée de 12 nappes de bases les faces pentagonales de l'icosidodécaèdre.
(0,5/4,-5/2,5/4) Sextique de Barth, possédant 50 points singuliers.
(0, 5, 45, 71) Surface contenant 60 droites, telle x = z = 1.
Voir d'autres superbes sextiques de Goursat en relief sur cette page d'Alain Esculier.

Voir aussi les courbes de Goursat, les surfaces retournables., les surfaces à symétrie de rotation.


Surfaces de Goursat, par Patrice Jeener


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© Robert FERRÉOL  2011