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SURFACE RETOURNABLE
Flippable surface, umkehrbare Fläche

Une surface retournable est une surface globalement invariante par retournement (ou demi-tour, ou rotation d'angle plat, ou symétrie axiale).

On reconnaît qu'une surface d'équation cartésienne  est invariante par retournement s'il existe un retournement r de  tel que .
Avec le signe +, le retournement n'échange pas les deux faces de la surface ; exemples ;
    - toutes les surfaces de révolution
    - l'ellipsoïde, les quadriques à centre, et plus généralement toutes les surfaces d'équation  qui sont invariantes par les 3 retournements autour des axes.
    - le bonnet croisé, et plus généralement toutes les surfaces d'équation  qui sont invariantes par le retournements autour de Oz.
 

Avec le signe , le retournement échange les deux faces de la surface ; en prenant l'axe du retournement égal à la droite  on obtient une équation implicite générale de ces surfaces :  avec ; Exemples :

- le plan z = 0
- le paraboloïde hyperbolique
video 1
- le conoïde de Plücker
video 2
- la cyclide de Dupin parabolique symétrique
video 3
- la surface 
video 4
- la surface de Costa algébrique
video 5
- la surface 
video 6

- les surfaces minimales d'Enneper, et de Costa.

REM : toutes les surfaces de l'encadré ci-dessus ont une équation du type ; elles ont un groupe d'isométries formé de l'identité, du retournement autour de Oz qui n'inverse pas les faces, des deux retournements autour de , de deux réflexions, et deux antirotations d'ordre 4, groupe isomorphe aux isométries du carré.

Voir plus généralement les surfaces à symétrie de rotation.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2014