Conoïde de Plücker

CONOÏDE DE PLÜCKER
Plücker's conoid, Plückersches Konoid

n = 1
n = 2

n = 3
n = 4

Julius Plücker (1801-1868) : mathématicien et physicien allemand.
Autre nom : cylindroïde (de Plücker).
Voir la programmation povray sur le site d'Alain Esculier.
Voir le pb de centrale 94.

Équation cylindrique : .
Paramétrisation cartésienne : ().
Équation cartésienne pour n entier : .
Surface algébrique rationnelle si n = p/q est rationnel, de degré p + q pour p pair, 2(p + q) pour p impair.
Première forme quadratique fondamentale : .
Deuxième forme quadratique fondamentale : .
Lignes asymptotiques : les génératrices et les courbes se projetant sur xOy en les spirales sinusoïdales : .

Un conoïde de Plücker peut être défini comme un conoïde droit de directrice une couronne sinusoïdale (ici, la couronne ) et d'axe l'axe de cette couronne.

Le cas habituel est le cas n = 2 (la directrice est une courbe de la crêpe) , qui est appelé en général conoïde de Plücker tout court :

Équation cartésienne : .
Surface cubique réglée, rationnelle.
Équation cylindrique : .
Paramétrisation cartésienne : ().
En tournant d'un huitième de tour, on obtient successivement les équations : , , et .
Première forme quadratique fondamentale : , avec .
Deuxième forme quadratique fondamentale : , avec .

Les lignes asymptotiques sont les courbes se projetant sur xOy en les lemniscates de Bernoulli : , ainsi que les génératrices.

Le conoïde de Plücker possède deux plans de symétrie ; la section par un plan parallèle à un plan de symétrie est une cubique d'Agnesi et par un plan parallèle à un plan bissecteur des plans de symétrie, une anguinée.

section agnésienne
section anguinéenne

Il se traverse lui-même suivant le segment de Oz formé des points d'ordonnée entre -a et a, avec deux points pince aux extrémités.

On en obtient facilement une représentation matérielle en évidant un carré dans une feuille de papier et en joignant bord à bord les 4 côtés de ce carré (construction due à David Hanau, élève de PCSI).

Cette surface est susceptible de nombreuses définitions géométriques provenant de la propriété suivante :
Le cylindre de révolution de génératrice Oz : coupe le conoïde de Plücker en une ellipse dont le plan a pour équation : , plus l'axe Oz.

Le conoïde de Plücker est donc le conoïde droit de directrice une ellipse passant par son axe, dont le plan n'est pas perpendiculaire à l'axe.

Le conoïde de Plücker est donc aussi la surface engendrée par les perpendiculaires communes à une droite fixe (D) = (Oz) et aux droites d'un plan fixe (P) non perpendiculaire à (D) passant par un point fixe de (P).

C'est le seul conoïde tel que quel que soit le point M, le lieu du projeté de M sur les génératrices du conoïde soit une courbe plane (qui est alors une ellipse).

Son inverse par rapport à un point de l’axe hors du segment d’auto-intersection est un bonnet croisé, ce qui en fait donc une représentation du plan projectif.

Il est également projectivement équivalent au parapluie de Whitney et au conoïde de Zindler, mais avec une homographie complexe seulement pour ce dernier.

Lien vers une figure manipulable à la souris et montrant un ruban de Möbius tracé sur ce conoïde.

Construction réalisée par les élèves de l'école d'architecture de Lyon.
Il s'agit d'une portion de conoïde droit de directrice un cercle passant par l'axe et faisant un angle de 45° avec lui, donc image par une affinité d'un conoïde de Plücker.
Photo donnée par Robert March

Cas n = 1 :

la génératrice est l’ellipse .
Équation cartésienne : .
Surface quartique réglée rationnelle.
Équation cylindrique : .
Paramétrisation cartésienne : ().

Ce conoïde est une réunion d’ellipses dont les sommets se trouvent sur les droites y = 0 et z = +- a.

C'est aussi le lieu des tangentes à la sphère de centre (a ,0, 0) et de rayon a rencontrant l’axe Oz. Le lieu des points de tangence avec la sphère est alors la fenêtre de Viviani : .
Une ellipse en bleu, et la fenêtre de Viviani en rouge.

La section de ce conoïde avec le cône de révolution donne une courbe gauche se projetant sur xOy en le limaçon de Pascal ; ci-contre, le cas b = a, donnant la cardioïde.

Comparer les conoïdes de Plücker avec les cônes sinusoïdaux.

surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres