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CONOÏDE DE PLÜCKER
Plücker's conoid, Plückersches Konoid



n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

 
 
Julius Plücker (1801-1868) : mathématicien et physicien allemand.
Autre nom : cylindroïde (de Plücker).
Voir la programmation povray sur le site d'Alain Esculier.
Voir le pb de centrale 94.

 
Équation cylindrique :  (surface à symétrie de rotation).
Paramétrisation cartésienne : ().
Équation cartésienne pour n entier : .
Surface algébrique rationnelle si n = p/q  est rationnel, de degré p + q pour p pair, 2(p + q) pour p impair.
Première forme quadratique fondamentale : .
Deuxième forme quadratique fondamentale : .
Lignes asymptotiques : les génératrices et les courbes se projetant sur xOy en les spirales sinusoïdales.

Un conoïde de Plücker général peut être défini comme un conoïde droit de directrice une couronne sinusoïdale (ici, la couronne  ) et d'axe l'axe de cette couronne.

Le cas habituel est le cas n = 2 (la directrice est une courbe de la crêpe) , qui est appelé en général conoïde de Plücker tout court :
Équation cartésienne : .
Surface cubique réglée, rationnelle. (rem : la surface algébrique complète, d'équation , comprend aussi l'axe Oz entier)
Équation cylindrique : .
Paramétrisation cartésienne : ().
En tournant d'un huitième de tour, on obtient successivement les équations : , et .
Première forme quadratique fondamentale : , avec .
Deuxième forme quadratique fondamentale : , avec .
 
Les lignes asymptotiques sont les courbes se projetant sur xOy en les lemniscates de Bernoulli, ainsi que les génératrices.

 
Le conoïde de Plücker possède deux plans de symétrie ; la section par un plan parallèle à un plan de symétrie est une cubique d'Agnesi et par un plan parallèle à un plan bissecteur des plans de symétrie, une anguinée.

section agnésienne

section anguinéenne

Voir aussi ici son invariance par retournement.

Il se traverse lui-même suivant le segment de Oz formé des points d'ordonnée entre -a et a, avec deux points pince aux extrémités.

On en obtient facilement une représentation matérielle en évidant un carré dans une feuille de papier et en joignant bord à bord les 4 côtés de ce carré (construction due à David Hanau, élève de PCSI).

Cette surface est susceptible de nombreuses définitions géométriques provenant de la propriété suivante :
Le cylindre de révolution de génératrice Oz : coupe le conoïde de Plücker en une ellipse dont le plan a pour équation : , plus l'axe Oz.

Le conoïde de Plücker est donc le conoïde droit de directrice une ellipse passant par son axe, dont le plan n'est pas perpendiculaire à l'axe.

Le conoïde de Plücker est donc aussi la surface engendrée par les perpendiculaires communes à une droite fixe (D) = (Oz) et aux droites d'un plan fixe (P) non perpendiculaire à (D) passant par un point fixe de (P).

C'est le seul conoïde tel que quel que soit le point M, le lieu du projeté de M sur les génératrices du conoïde soit une courbe plane (qui est alors une ellipse).

Son inverse par rapport à un point de l’axe hors du segment d’auto-intersection est un bonnet croisé, ce qui en fait donc une représentation du plan projectif.

Il est également projectivement équivalent au parapluie de Whitney et au conoïde de Zindler, mais avec une homographie complexe seulement pour ce dernier.

Lien vers une figure manipulable à la souris et montrant un ruban de Möbius tracé sur ce conoïde.
 
 
Construction réalisée par les élèves de l'école d'architecture de Lyon.

Il s'agit d'une portion de conoïde droit de directrice un cercle passant par l'axe et faisant un angle de 45° avec lui, donc image par une dilatation d'un conoïde de Plücker.

Photo donnée par Robert March

Cas n = 1 :
 

Paramétrisation cartésienne :  (, la génératrice est l’ellipse ).
Équation cartésienne : .
Surface quartique réglée rationnelle.
Équation cylindrique : .
La section par le cylindre  est aussi paramétrée par .
Équation cartésienne dans ce cas : .

Ce conoïde est une réunion d’ellipses dont les sommets se trouvent sur les droites y = 0 et z = +- a.
 
C'est aussi le lieu des tangentes à la sphère de centre (a, 0, 0) et de rayon a, parallèles au plan xOy, et rencontrant l’axe Oz. Le lieu des points de tangence avec la sphère est alors la fenêtre de Viviani.
Voir le cas général sur la page du conoïde.

Une ellipse en bleu, et la fenêtre de Viviani en rouge.

 
La section de ce conoïde  avec le cône de révolution  donne une courbe gauche se projetant sur xOy en le limaçon de Pascal. ; ci-contre, le cas b = a, donnant la cardioïde.

 
Les sections des conoïdes de Plücker généralisés avec la sphère de centre O et de rayon a sont les clélies
Plus généralement, les sections avec le tore de centre O et de rayon mineur a sont les solénoïdes toriques.
Ci-contre, deux cas où n = 3.

Comparer les conoïdes de Plücker avec les cônes sinusoïdaux.
 
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© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2011