Surface étudiée par Steiner. Autre nom : mitre.

 

Paramétrisation cartésienne :   avec . Soit, en faisant  :  de sorte que   ; ou encore, en faisant  : . Équation cartésienne :. Surface quartique.

Le bonnet croisé est l'image de la sphère quotientée par la relation d'antipodie (autrement dit le plan projectif réel), par l'application : .
C'est la plus simple immersion du plan projectif réel dans . Elle ne possède qu'un segment d'auto-intersection terminé par deux points cuspidaux (ici O et (0,0,-1)) (comparer avec la surface romaine et la surface de Boy, qui sont deux autres immersions du plan projectif).

vue du sgment d'auto-intersection terminée par le point-pince.

Certains auteurs désignent par bonnet croisé un bonnet croisé troué : C'est alors vraiment un bonnet au sens physique, mais d'un point de vue topologique, c'est un ruban de Möbius.

La figure ci-dessous illustre le fait que le bonnet croisé est un modèle du plan projectif :

On part d'une sphère trouée (homéomorphe au disque), et on plaque bord à bord a avec a, et b avec b, pour former le segment d'auto-intersection

Le bonnet croisé possède aussi d'intéressantes propriétés géométriques :
    - les sections par des plans z = h sont
        - des courbes en huit pour -a < h < 0
        - la réunion de deux ellipses tangentes  pour h = 0
        - des ovales pour 0 < h <a.
    - les sections par les plans contenant Oz d'angle polaire q sont des ellipses :

de sommets (0, 0, a) et  et de petit axe constant égal à a, de sorte que le bonnet croisé peut être vu comme la surface engendrée par une ellipse de petit axe de longueur constante tournant autour de son grand axe avec un sommet fixe sur l'axe et l'autre sommet oscillant sur cet axe.

Si l'on remplace les ellipses par des cercles, on obtient une surface cerclée de paramétrisation cylindrique :  .

Cette dernière surface, homéomorphe à la précédente, est à homothétie près l'inverse du conoïde de Plücker d'ordre 1 par rapport au point (0,0,-3) ????, les droites du conoïde devenant les cercles du bonnet croisé.
 
 

Voici une version polyédrique du bonnet croisé. Attention, ce n'est pas un vrai polyèdre : l'arête double centrale est commune à 4 faces.

 

Il ne faut pas confondre le bonnet croisé avec le pseudo bonnet croisé :

d'équation cartésienne : et de paramétrisation  dont les sections horizontales sont des lemniscates de Gerono et qui, nonobstant sa ligne double et ses deux points pince, est une surface unilatère.

surface suivante

surface précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2008