Surface romaine

SURFACE ROMAINE
Roman surface, römische Fläche

Courbe étudiée par Steiner en 1844.
Cette surface est ainsi appelée car Steiner l'aurait découverte lors d'un séjour à Rome.

Équation cartésienne comme surface tétraédrique de Kümmer :

, où

,
de sorte que f = 0 est l'équation de la sphère de centre O et de rayon a et pqrs = 0 l'équation d'un tétraèdre régulier centré en O et dont les arêtes sont à distance a de O.
Équation cartésienne dans un repère tourné de 45° autour de Oz :

.
Paramétrisation cartésienne :

avec

;
soit, en faisant

de sorte que

.
Soit, encore, en faisant maintenant

Surface quartique unilatère.

La surface romaine est l'image de la sphère quotientée par la relation d'antipodie (autrement dit le plan projectif réel) par l'application : .
C'est historiquement la première représentation du plan projectif réel comme surface de R³. Elle possède trois segments d'auto-intersection formant un trièdre trirectangle terminés chacun par deux points-pince et se coupant en leur centre en un point triple (ici O).

La définition ci-dessus comme cas particulier de surface tétraédrique de Kümmer montre qu'elle possède les symétries du tétraèdre régulier.
Avec la deuxième équation les sommets du tétraèdre sont les points , avec un nombre pair de signes -.

Vue montrant une partition en 4 parties isométriques (contenant les sommets du tétraèdre),
et une vue montrant une partition en 6 parties isométriques (contenant les arêtes du tétraèdre).

La surface romaine est de 3 façons réunion d'ellipses (avec la seconde équation ci-dessus, ce sont les sections par les plans contenant les axes) ; on pourrait dire que la surface romaine, à l'instar du bonnet croisé, est une surface "ellipsée".

Voici enfin une version polyédrique de la surface romaine :

Retrouvez bien les les 3 segments doubles terminés par les 6 points-pince, les 4 sommets et le point triple !

Attention 1 : si vous voyez les cubes en creux, vous êtes victime d'une illusion !
Attention 2 : ce n'est pas un vrai polyèdre : les arêtes doubles sont communes à 4 faces ; un vrai polyèdre équivalent à la surface romaine est le tétrahémihexaèdre.

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