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PLAN PROJECTIF (RÉEL)
Projective plane, projektive Ebene

Plan projectif en surface romainePlan projectif en bonnet croiséPlan projectif en surface de Boy

Surface étudiée par Félix Klein en 1874.
Sites :
www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/classification.html

 
Paramétrisation cartésienne d'une immersion dans  avec , où les fsont des polynômes homogènes de degré pair.

Le plan projectif (réel est l'espace quotient de  par la relation de colinéarité.

Mais, plus généralement, on désigne par "plan projectif" tout espace topologique homéomorphe à .

On montre qu'une surface est un plan projectif ssi c'est une surface compacte connexe unilatère (à une face) de genre 1 (peut être découpée une fois sans être séparée en 2).
 
 
Le nombre chromatique du plan projectif est 6 (toute carte tracée sur le plan projectif pourra être coloriée avec 6 couleurs au plus, et il existe des cartes nécessitant 6 couleurs).

Il existe même des cartes où chaque pays touche les 5 autres, l'une étant représentée ci-contre sur le bonnet croisé, l'autre sur un décagone à côté opposés identifiés avec inversion du sens (cf. ci-dessous).

Voici des modèles classiques du plan projectif :
    - L'ensemble des droites vectorielles de  muni de la topologie naturelle
    - Un plan (affine réel) complété par une droite projective (la droite de l'infini)
    - Une sphère où l'on a identifié les points antipodaux
    - Un disque fermé où l'on a identifié les points antipodaux de la circonférence
 
   - Un disque fermé dont 2 demi-circonférences sont identifiées, avec le sens indiqué (revient à la construction précédente)
   - Un carré plein dont on identifie les côtés opposés avec inversion du sens.
Ceci revient exactement à la construction précédente, mais permet de voir le lien avec le ruban de Möbius dans la caractérisation suivante (le ruban étant obtenu, lui, en identifiant un seul couple de côtés opposés).
   - Un ruban de Möbius  dont les deux demi-bords sont identifiés en sens contraire. (Si on les identifie dans le même sens, on obtient une bouteille de klein).
Schéma pris sur cette page
   -  Un ruban de Möbius que l'on ferme avec un couvercle homéomorphe à un disque. Un ruban de Möbius est donc un plan projectif troué.
Pour montrer cela partons de la représentation triangulaire du ruban de Möbius, et courbons-la en croissant. On voit alors apparaître le plan projectif avec son trou circulaire...

    - le polyèdre étoilé ayant les mêmes arêtes que l'octaèdre dénommé tétrahémihexaèdre.

On ne peut pas représenter le plan projectif dans sans auto-intersection ; les 4 immersions classiques du plan projectif dans  sont :
    - le bonnet croisé (la plus simple)
    - la surface romaine (la première découverte historiquement)
    - la surface de Boy (plus complexe, mais sans "point-pince", contrairement aux deux premières)
    - la surface d'Henneberg, qui est de plus une surface minimale.

Les équations données en en-tête sont celles des surfaces de  obtenues par immersion du plan projectif.
Pour , on obtient le bonnet croisé,
Pour , la surface romaine,

et pour , on obtient la surface de Boy (équations d'Apéry).
La surface de Véronèse réalise un plongement du plan projectif dans .

Voici 2 constructions du plan projectif imagées à partir du bonnet croisé.

Un ruban de Möbius (avec auto-intersection, mais il y bien  un bord, une face)

+  un disque (avec auto-intersection, mais il y bien un bord et deux faces)


=  un plan projectif

 

Un disque se déforme de sorte que les points deux demi-circonférences viennent se rencontrer : 

ceci...


...équivaut bien à ceci !
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© Robert FERRÉOL  2013