Bouteille de Klein

BOUTEILLE DE KLEIN
Klein's bottle, Kleinsche Flasche
moitié tore, moitié dôme de Bohème forme classique huit en rotation
lien vers une figure manipulable à la souris

Surface étudiée par Klein en 1882.
L'appellation "bouteille" proviendrait d'une erreur d'un traducteur qui aurait confondu en allemand "kleinsche Fläche" (surface de Klein) et "kleinsche Flasche" (bouteille de Klein), et désigné en anglais cette surface par Klein bottle.
Félix Klein (1849-1925) : mathématicien allemand.
Autres noms : surface de Klein, tore de Klein, tore non orientable.

Paramétrisation sans point singulier dans R⁴:

Paramétrisation donnant la forme classique dans R³(donc avec auto-intersection) :
Première partie :
Deuxième partie : , où , avec a = 3, b = 4, c = 2.
Paramétrisation avec un demi dôme de bohème et un demi-tore:
puis .
Rotation d'un huit avec retournement :.
Équation cartésienne polynomiale de Ian Stewart : .
Voir ici une méthode générale de création de bouteille de Klein.

On désigne par bouteille de Klein , notée K, tout espace topologique homéomorphe à celui obtenu en identifiant dans un carré plein les côtés opposés avec inversion du sens pour l'un des couples. Cela revient donc à identifier les deux bords d'un ruban fermé sans torsion, avec inversion du sens.

On coud 2 côtés opposés dans le même sens : on obtient un ruban simple (ou un cylindre tronqué)
On coud 2 côtés opposés dans le sens contraire : on obtient un ruban de Möbius.
On coud les côtés opposés entre eux dans le même sens : on obtient un tore. On coud les côtés opposés, un couple dans le même sens, l'autre en sens contraire : on obtient une bouteille de Klein. On coud les côtés opposés en sens contraires : on obtient un plan projectif.

On obtient donc aussi une bouteille de Klein en cousant deux rubans de Möbius bord à bord.

Une demi-bouteille de Klein est un ruban de Möbius.

Le ruban de Möbius étant un plan projectif troué, la bouteille de Klein est donc aussi la somme connexe de deux plans projectifs réels.

C'est une surface unilatère (à une seule face), donc non orientable, de genre 2, de caractéristique d'Euler-Poincaré c nulle, et de nombre chromatique égal à 6 comme le tore(et non 7 comme le voudrait la formule de Heawood ) :

Dans cette carte à 6 pays tracée sur la bouteille de Klein, chaque pays touche les 5 autres ; 6 est le maximum possible, et toute carte pourra être coloriée avec 6
couleurs au plus.

Elle ne peut pas être plongée dans R³, mais seulement immergée avec auto-intersection.

Si la représentation classique ressemble bien à une bouteille (dans laquelle on évitera de mettre du liquide !),

n'importe quelle surface engendrée par le mouvement d'un cercle (de rayon variable ou non) ou même d'une courbe fermée qui revient sur elle-même après rotation d'un demi-tour est une représentation de la bouteille de Klein.

On peut par exemple coller un demi tore avec un demi dôme de Bohème (voir première figure ci-dessus),

On peut aussi faire tourner un huit avec un demi-tour :

Demi-bouteille de Klein engendrée par un huit (surface complète en haut à droite)

Cette représentation permet de bien voir comment la bouteille de Klein est obtenue en cousant bord à bord deux rubans de Möbius.

+ =

Et la bouteille de Klein étant la somme connexe de deux plans projectifs, on en obtient une autre représentation en accolant deux bonnets croisés ouverts :

Ceci est aussi une bouteille de Klein !

Dans R⁴, on peut par contre effectuer le mouvement d'un cercle avec retournement sans que la surface obtenue ne présente d'auto-intersection (voir la paramétrisation en encadré ci-dessus).

Voici enfin un modèle polyédrique de la bouteille de Klein :

La bouteille de Klein percée (caractérisée le fait d'être une surface unilatère à un bord de genre 2) peut être représentée par le slip de Möbius (Möbius shorts en anglais) : on l'obtient en reliant un ruban fermé non torsadé par une bande comme ci-dessous :

Ce slip impossible à enfiler est une bouteille de Klein percée !

De même que le ruban de Möbius peut être généralisé en un ruban à n demi-tours (et l'on obtient topologiquement un ruban de Möbius seulement quand n est impair), la bouteille de Klein peut être généralisée en une bouteille à n retournements, qui n'est topologiquement une bouteille de Klein que lorsque n est impair.
Ci-contre, les bouteilles multiples ont été crées à partir d'un tube de section variable d'âme une épicycloïde.

La bouteille de Klein permet aux infographistes de montrer leur talent :

LIENS :
www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/Klein2.html
www.math.uiuc.edu/~jms/Images/klein.html
www.geom.uiuc.edu/~banchoff/Klein4D/Klein4D.html

Jeux sur une bouteille de Klein : geometrygames.org/TorusGames/index.html
pour acheter des bouteilles de Klein en verre et même un bonnet de Klein ! : www.kleinbottle.com

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