La caractéristique d'Euler-Poincaré est "réunion-additive", à savoir que la caractéristique d'une variété qui est réunion disjointe de deux variétés est la somme des caractéristiques de ces deux variétés.

Exemples :

La caractéristique de Rⁿ et de toutes ses boules ouvertes est (-1)ⁿ (1 pour le point, -1 pour la droite ou un intervalle ouvert, 1 pour le plan ou un disque ouvert , -1 pour  R³ et ses boules ouvertes).

La caractéristique de  Sⁿ (sphère de Rⁿ⁺¹) , réunion d'une copie de Rⁿ et d'un point, est  (-1)ⁿ + 1 (0 pour le cercle ou toute courbe de Jordan, 2 pour la sphère S² et toutes les surfaces qui lui sont homéomorphes).

La caractéristique d'une boule fermée non réduite à un point de Rⁿ (réunion d'une boule ouverte et d'une copie de S^n-1) est 1 ; ceci vaut donc pour un segment ou un disque fermé).

La caractéristique du cylindre (plan + droite) est nulle, donc aussi celle du cylindre à un ou deux bords, du ruban de Möbius (qu'il soit fermé ou ouvert), du tore et de la bouteille de Klein.

La caractéristique du plan projectif est 1 (ruban de Möbius ouvert plus un point).

La caractéristique d'Euler-Poincaré d'une somme connexe de deux surfaces est donnée par la relation  (perte de deux disques ouverts) ; on obtient ainsi la caractéristique d'Euler-Poincaré de toute surface close.

Elle vaut 2 - 2n pour le tore à n anses T_n et 2 - n pour la sphère munie de n bonnets croisés : .

Plus généralement, la caractéristique de la sphère munie de p anses, de q bonnets croisés et percée r fois (d'un disque ouvert, ou fermé) vaut 2 - 2p - q - r ; ceci donne donc la caractéristique de toute surface connexe de type fini.

Deux surfaces connexes orientables (resp. non orientables) ayant le même nombre de bords sont homéomorphes si et seulement si elles ont même caractéristique.

La caractéristique d'Euler-Poincaré d'une surface de type fini peut se calculer par divers moyens.

Une décomposition cellulaire de la surface est ici une partition finie de cette surface en sous-ensembles homéomorphes au plan (les faces, en nombre F), à la droite (les arêtes, en nombre A), ou au point (les sommets, en nombre S) et la caractéristique d'Euler-poincaré se calcule par la relation c = S - A + F .
 

Pour la sphère, c = S - A+ F = 2 - 4 + 4  = 2.

Pour le tore, c = S - A + F= 4 - 8 + 4 = 0.

Pour le plan projectif, c = S  - A + F= 3 - 6 + 4  = 1. (Il faut compter deux fois l'arëte double)

Mais la caractéristique d'Euler-Poincaré peut aussi se calculer par la relation du montagnard : si la surface est immergée dans R³ et que la fonction altitude possède un nombre fini de singularités qui sont des fonds (en nombre f), des sommets (en nombre s) ou des cols (en nombre c), la caractéristique d'Euler Poincaré est c = f - c + s.
 

Pour la sphère, c = f - c + s = 1 - 0 + 1  = 2.

Pour le tore, c = f - c + s = 1 - 2 + 1 = 0.

Pour le plan projectif, c = f - c + s = 1 - 0 + 0  = 1.

Pour la bouteille de Klein, c = f - c + s = 1 - 1 + 0  = 0.

Elle est aussi égale à la somme des indices des singularités d'un champ de vecteurs à nombre fini de singularités tracé sur la surface (théorème de Hopf).
 
 

Pour la sphère, 2 singularités d'indice 1, ou une singularité d'indice 2  : c = 2.

Pour le tore, pas de singularité : c = 0.

 

Pour le plan projectif, une singularité d'indice 1 c  = 1.

Pour la bouteille de Klein, pas de singularité : c   = 0.

Un champ de vecteurs sur une surface de caractéristique non nulle possède donc au moins une singularité ; par exemple, on ne peut pas coiffer une sphère chevelue sans singularité.

La caractéristique d'Euler-Poincaré peut enfin se calculer à partir de la courbure par la formule de Gauss-Bonnet.

Une carte tracée sur la surface est une décomposition cellulaire telle qu'à chaque sommet aboutisse au moins trois arêtes ; le nombre chromatique C d'une surface de type fini est le nombre minimal de couleurs nécessaires pour colorier les faces d'une carte de sorte que deux faces ayant au moins une arête commune soient de couleur distinctes ; ce nombre est supérieur ou égal au nombre K, nombre maximal de faces d'une carte dont les faces ont toutes 2 à 2 au moins une arête commune.
En écrivant que pour une carte,, on obtient à l'aide de la relation d'Euler- Poincaré l'inégalité 3F - A - 3 c ³0 , qui pour une carte à K faces 2 à 2 contiguës, ayant donc  A = K (K - 1) /2 arêtes, donne l'inégalité , soit .
Il a été démontré, que, bizarrement à l'exception de la bouteille de Klein, ces trois nombres C, K et H(c) , vérifiant à priori  sont égaux :
 

Carte à K = 4 pays deux à deux contigus sur la sphère

Carte à K = 7 pays deux à deux contigus sur le tore

Carte à K = 6 pays deux à deux contigus sur le plan projectif

Carte à K = 6 pays deux à deux contigus sur la bouteille de Klein

 
 

Surface	genre g	car. d'E.-P.	H()	nombre chromatique C	K
sphère	0	2	4	4	4
plan projectif	1	1	6	6	6
bouteille de Klein	2	0	7	6	6
tore	1	0	7	7	7
surface de Dyck	2	–1	7	7	7
bouteille de Klein munie d'une anse, sphère munie de 4 bonnets croisés	3	–2	8	8	8
tore à deux anses	2	–2	8	8	8
tore à n anses, n³ 2	n	2 – 2n
plan projectif muni de n anses, sphère munie de 2n+1 bonnets croisés	2n + 1	1 – 2n
bouteille de Klein munie de n anses, sphère munie de 2n + 2 bonnets croisés	2n + 2	–2n

 

surface suivante

surface précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 201