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COURBE, OVALE, LEMNISCATE DE BOOTH
Curve, oval, lemniscate of Booth ; Kurve, Oval, Lemniskate von Booth


Courbes étudiées par Fagnano en 1750, Euler en 1751, et Booth en 1877.
James Booth (1810 -1878 ) : mathématicien anglais.
Autres noms : hippopède de Proclus, lemniscate elliptique (pour les ovales) et lemniscate hyperbolique (pour les lemniscates).

 
Équation cartésienne : 
avec e = 1 pour les ovales (prendre 0 < ), e = –1 pour les lemniscates.

Quartique bicirculaire rationnelle.

Équation polaire : .

Équation tripolaire : dans le tripôle (F, F',O) où F(d,0) et F'(–d,0),

avec ,.
Paramétrisation rationnelle des ovales :
)
Paramétrisation rationnelle des lemniscates : 
  ().
Aire :  pour l'ovale,  pour la lemniscate. 

Les courbes de Booth sont les quartiques bicirculaires rationnelles ayant un centre de symétrie.

Comme toute quartique bicirculaire rationnelle, elles ont quatre définitions équivalentes :

    1) Ce sont les podaires de coniques à centre par rapport à leur centre (ici podaire par rapport à O de la conique ).
-
    - Pour une ellipse, la courbe de Booth est appelée ovale de Booth ; ce ne sont de véritables ovales (i.e. convexes) que pour  (et c'est un cercle pour a = b) elle a une forme de haricot dans les autres cas.
 

On en déduit que les ovales de Booth sont les lieux du centre d'une ellipse roulant sans glisser sur une ellipse égale, avec des sommets coïncidants, et donc aussi une courbe du trois-barres (voir plus loin l'interprétation en courbe de Watt)

    - Pour une hyperbole, elle est appelée lemniscate de Booth, à cause de sa forme de huit. On obtient une lemniscate de Bernoulli lorsque l'hyperbole est équilatère.
 
On en déduit que les lemniscates de Booth sont les lieux du centre d'une hyperbole roulant sans glisser sur une hyperbole égale, avec des sommets coïncidants.

    2) Ce sont donc les enveloppes de cercle de diamètre joignant le centre d'une conique à un point de cette conique.


    3) Ce sont les inverses de coniques à centres par rapport à leur centre (ici, de la conique , si l'on prend ab comme puissance d'inversion - noter l'interversion de a et b par rapport à 1)).

    4) Ce sont les cissoïdales de deux cercles (C) et (C') par rapport à un point O, tels que O appartient à (C) et le centre de (C') est le point F de (C) diamétralement opposé à O. Le point F est l'un quelconque des foyers de la conique du 1) ; ici par exemple F , (C') étant de rayon a.
 
 

Mais elles possèdent 4 autres définitions remarquables :
    5) Ce sont les cissoïdales de deux cercles confondus relativement à un point quelconque. On obtient un ovale ou une lemniscate selon que le point est intérieur ou extérieur au cercle. On obtient la lemniscate de Bernoulli lorsque le point est à distance  fois le rayon du cercle.
Ici, le cercle est le cercle de centre  (milieu de [OF] ) et de rayon a/2.
 

    6) Ce sont des cas particulier de courbes de Watt ; ce sont les lieux du milieu d'un segment de longueur 2d joignant deux cercles de rayon a dont les centres sont distants de 2d ; autrement dit, ce sont les lieux du milieu d'un côté (de longueur 2d) d'un "rectangle" articulé, l'autre côté (de longueur a) étant fixe ; on obtient les lemniscates lorsque le grand côté est fixe, et les ovales dans l'autre cas.
 

     7) Ce sont les spiriques de Persée (i.e. sections d'un tore par un plan parallèle à son axe) lorsque le plan est tangent intérieurement au tore. C'est à cause de cette définition que ces courbes sont aussi appelées hippopèdes de Proclus.
Plus précisément, ce sont les sections d'un tore de centre O, d'axe Oz, de rayons majeurs et mineurs a et b coupé par le plan parallèle à Oz situé à une distance  d =|a - b| de O ; la courbe est un ovale quand le tore est croisé (b > a) et une lemniscate lorsqu'il est ouvert (a < b).

Dans un repère d’origine le projeté de O sur le plan, on obtient l'équation cartésienne :

.

8) Ce sont les projections sur xOy des biquadratiques intersections du paraboloïde de révolution  avec le cône du second degré  .

9) Si l'on effectue une affinité  sur l'ovale , on obtient la courbe d'équation polaire  avec  et  ; les ovales de Booth sont donc, à affinité près, des polygastéroïdes.

Comparez les courbes de Booth avec les ovales de Cassini.

Voir aussi la surface d'élasticité de Fresnel, qui est la généralisation à l'espace de l'ovale de Booth.
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2008