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BASE, ROULANTE ET ROULETTES
D'UN MOUVEMENT PLAN SUR PLAN
Fixed curve (or fixed centrode), rolling curve (or moving centrode) and roulettes
in a rigid motion of a moving plane over a fixed plane
Fixkurve (od. Rastpolbahn), rollende Kurve (od Gangpolbahn) und Rollkurven in einem Bewegungablauf zweier Ebenen

Le mouvement plan sur plan a été étudié en généralité par W.H. Besant en 1869, avec pour précurseurs pour des cas particuliers : Dürer en 1525, D. Bernoulli, La Hire, Desargues, Leibniz, Newton, Maxwell etc.
Site : http://www.tfh-berlin.de/~schwenk/Lehrgebiete/AUST/Welcome.html

 
La base d'un mouvement plan sur plan est la courbe engendrée par les positions successives dans le plan fixe du centre instantané de rotation du mouvement du plan mobile.

La roulante est la courbe engendrée par ces positions successives, dans le plan mobile.
Durant le mouvement, la roulante roule sans glisser sur la base, qui est son enveloppe.

Les roulettes (ou trajectoires) sont les courbes tracées sur le plan fixe par les points du plan mobile.
La droite joignant le point de contact entre la base et la roulante au point traceur est normale à la roulette (théorème de Descartes).
Voir des exemples d'étude de mouvement plan sur plan sur cette page, ainsi que la notion de glissette, qui permet de définir divers mouvements plan sur plan.
Lorsque le mouvement du plan mobile est un mouvement de translation, la base et la roulante sont rejetées à l'infini (voir à reptoire).


 
Le plan est rapporté au repère fixe :  et au repère mobile dépendant du temps t : ; le point  a pour affixe :  et le vecteur  dans le repère fixe.
Un point M = M(t) a une affixe : m = m(t) dans le repère fixe et une affixe :  dans le repère mobile reliés par la relation : , d'où en dérivant par rapport au temps :  (1) .
Soit N(t, u), d'affixe n(t, u), le point qui a dans le repère mobile à l'instant t la position qu'avait (ou qu'aura) le point M à l'instant u ; on a : .

 
A l'instant t le centre instantané de rotation  du repère mobile par rapport au plan fixe, point courant de la base, est le point fixe dans le plan mobile qui a une vitesse nulle par rapport au repère fixe ; il est donc défini par , ce qui donne par (1) , soit  ; l'affixe  de B dans le repère mobile est définie par , soit .
On montre que l'on a alors , ce qui exprime que la roulante roule sans glisser sur la base.
La roulante est, à chaque instant t, la courbe décrite par les point d'affixe  dans le repère mobile, pour u décrivant  ; son point courant  (R est à B ce que N est à M ci-dessus) a pour affixe dans le repère fixe : .
Une roulette est la trajectoire d'un point M fixe dans le repère mobile ; elle est définie par  ( est ici constant).
Exemple de calcul de roulette connaissant la base et la roulante, pour la cycloïde :
données  s'écrit : , d'où , et , donc :
.

 
 
Voici, dans le cas où le vecteur  est colinéaire à , le calcul de la base, de la roulante et des roulettes connaissant le mouvement plan sur plan, défini par la donnée de la trajectoire du point W (équation polaire ) .
La base a donc pour équation polaire 
et la roulante pour paramétrisation cartésienne : .

Exemples :

    - Lorsque le plan mobile est le plan lié à la tangente à une courbe, la base est la développée de cette courbe, et la roulante, la normale. La courbe est alors l'une des roulettes.
    - Lorsque la roulante est la symétrique de la base par rapport à une tangente, la roulette est la courbe orthotomique de la base par rapport au symétrique du point traceur par rapport à la tangente (point qui est fixe) ; par exemple :
        - les roulettes du centre d'une ellipse roulant sur une ellipse symétrique sont les ovales de Booth
        - les roulettes du centre d'une hyperbole roulant sur une hyperbole symétrique sont les lemniscates de Booth
        - la roulette du sommet d'une parabole roulant sur une parabole symétrique est la cissoïde de Dioclès
Les exemples exhaustifs se trouvent à podaire.

    - Les exemples où la base est rectiligne ont été mis sur une page spécifique.
    - Lorsque la roulante est rectiligne, et le point traceur sur la droite, la roulette est une développante de la base.
    - Lorsqu'une roulette est rectiligne, la base et la roulante forment un couple route-roue, tandis que lorsqu'une roulette est circulaire, la base et la roulante ont des profils conjugués.

Autres exemples :
 
base roulante point traceur roulette
cercle cercle sur le cercle roulant cycloïde à centre
cercle cercle quelconque trochoïde à centre
cercle droite situé à une distance de la droite égale au rayon du cercle, du côté du cercle spirale d'Archimède
cercle spirale logarithmique pôle de la spirale cercle concentrique à la base
chaînette droite voir figure ci-contre ! droite (base de la chaînette)
parabole campyle sur l'axe transverse de la campyle conchoïde de Nicomède
campyle parabole   kappa
quadrifolium ellipse   oeuf double
cycloïde cardioïde pôle de la cardioïde développante de cycloïde

Remarque : même lorsque base et roulante sont algébriques, la roulette peut être transcendante (cf. la cycloïde).

On désigne aussi plus généralement par roulette d'une courbe fixe du plan mobile l'enveloppe de cette courbe dans le plan fixe. Les centres de courbure des deux courbes sont alors reliés par le théorème d'Euler-Savary.
Exemples :
    - la base est l'enveloppe de la roulante (qui est la seule courbe qui ne glisse pas sur sa roulette).
    - la directrice d'une parabole roulant sur une droite enveloppe la chaînette tracée par son foyer.
    - un diamètre d'un cercle roulant sans glisser sur une droite enveloppe une cycloïde, et toute droite du plan mobile enveloppe une développante de cycloïde.
    - un diamètre d'un cercle roulant sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon double enveloppe une astroïde, et la droite perpendiculaire à ce diamètre en une extrémité enveloppe une croix de Malte ; plus généralement avec des cercles de rayons quelconques, on obtient comme enveloppes du diamètre du cercle roulant les cycloïdes à centre et comme enveloppes d'une droite quelconque les développantes de cycloïdes à centre.
    - l'antipodaire d'une courbe est la roulette de la perpendiculaire en M à (OM), M décrivant la courbe, et le plan mobile étant le plan dans lequel M et (OM) sont fixes.

Le mouvement d'une sphère sur une sphère isométrique conduit à des notions de base, roulante et roulettes tout à fait similaires à celles du mouvement plan sur plan. Voir par exemple, les trochoïdes sphériques du deuxième type.
 
 
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© Robert FERRÉOL 2010