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DÉVELOPPÉE D'UNE COURBE PLANE
Evolute of a plane curve, Evolute einer ebenen Kurve


Notion étudiée par Apollonius, vers 200 av. J.C. puis par Huygens en 1673.
Autres nom : focale, ou caustique.

La développée d’une courbe est le lieu de ses centres de courbure, ou encore l’enveloppe de ses normales.
 
Pour une courbe de départ :  de point courant  la développée est l'ensemble des points .
Paramétrisation cartésienne : 
Paramétrisation complexe : .
Si la courbe de départ a pour équation intrinsèque 2, on obtient :
Équation intrinsèque 1 paramétrique : .
Équation intrinsèque 2 :.

Interprétation cinématique : la développée est la base du mouvement plan sur plan dont le plan mobile est le plan emmené par la tangente à la courbe. La roulante en est la normale, qui roule donc sans glisser sur la développée.
 
Les points singuliers de la développée correspondent aux sommets de la courbe, c’est-à-dire aux extremums du rayon de courbure, notion généralisant celle de point situé sur un axe de symétrie avec tangente perpendiculaire à cet axe.
Ci-contre, on constatera deux minimums non nuls et un maximum infini du rayon de courbure ; dans ce dernier cas, le point singulier est à l’infini, et la normale est asymptote à la développée.

Les développées de 2 courbes semblables sont semblables (avec la même similitude) ; la développée d'une courbe algébrique est une courbe algébrique.

Interprétation physique : la courbe (G0) étant une source lumineuse, la développée représente le lieu où sont concentrés les rayons lumineux émis par la courbe ; la développée est donc appelée plutôt caustique en optique : voir la définition voisine de la caustique en maths.

La développée de la courbe orthotomique de (G0) par rapport à un point S (elle-même image de la podaire de (G0) par rapport à S dans une homothétie de centre S et de rapport 2), est la caustique par réflexion de centre S de (G0), soit en raccourci :

Développée de podaire = caustique

Il y a donc par exemple identité entre les développées de limaçons de Pascal et les caustiques de cercle.
 

Exemples :
 
courbe de départ développée
ellipse  tétracuspide 

avec 

hyperbole  1/2 courbe de Lamé : avec 
parabole  parabole semi-cubique
cycloïde la même cycloïde translatée 
cardioïde cardioïde semblable dans le rapport 1/3
néphroïde néphroïde semblable dans le rapport 1/2
épicycloïde de paramètre q épicycloïde semblable dans le rapport q/(q+2)
deltoïde deltoïde semblable dans le rapport 3
astroïde astroïde semblable dans le rapport 2
hypocycloïde de paramètre q hypocycloïde semblable dans le rapport q/(q-2)
spirale logarithmique spirale logarithmique 
tractrice chaînette
spirale tractrice courbe de Catalan
chaînette courbe
sextique de Cayley néphroïde
spirale de Sturm développante de cercle

Voir aussi à développante, voir une généralisation plane à développoïde, voir la notion de développée d'une courbe 3D,  la notion de surface polaire et la notion de focale qui est aux surfaces ce qu'est la développée aux courbes.
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2013