Parabole

Du grec parabolê "comparaison, parabole", de para "à côté de", et ballein "lancer".

Équation cartésienne réduite :

.
Conique polynomiale.
p (> 0) : paramètre de la parabole.
F(p/2, 0) : foyer de la parabole.
(D), droite d'équation x = - p/2 : directrice de la parabole.
Paramétrisation cartésienne réduite :

(

).
Équation polaire :

.
Abscisse curviligne :

.
Rayon de courbure :

.
Équation polaire (pôle F, axe Fx) :

La parabole est la conique d'excentricité 1.

Elles a été historiquement définie comme section de cône de révolution par un plan parallèle à une génératrice :

mais plus généralement toute section non bornée et connexe d’une quadrique par un plan est une parabole.

La parabole possède de nombreuses définition géométriques planes :

1) Définition par foyer et directrice :

La parabole est la courbe d'équidistance entre un point (le foyer F) et une droite (la directrice (D)) , autrement dit une isotèle de droite, d'où la construction :

MF = MH
Figure tirée de la bible :
le Lebossé Hémery
La parabole est la courbe d'indécision fatale de l'âne de Buridan deavant choisir entre une carotte et de l'eau !

Plus généralement les courbes d'équidistance entre un cercle et une droite sont des réunions
de deux paraboles :

voir ici le tas de sable correspondant.

La construction des foyer et directrice de la parabole définie comme section d'un cône est donnée par le théorème de Dandelin illustré ci-dessous :

La sphère inscrite dans le cône et tangente au plan de la parabole l'est au foyer de la parabole, et le plan du cercle de contact coupe le plan de la parabole en la directrice.

De plus, la tangente en M est la bissectrice intérieure de l'angle FMH :

D'après les lois de la réflexion, tout rayon lumineux (ou toute onde sonore) parallèle à l'axe de la parabole, est donc réfléchi(e) par la parabole suivant une droite passant par F.

Applications :

Les rayons lumineux sont concentrés au foyer du four solaire

Pour envoyer la balle dans le trou, l'envoyer parallèlement au bord !

2) Définition par antipodaire de droite.
La parabole est l’enveloppe de la perpendiculaire en I à la droite (FI), I décrivant la tangente au sommet de la parabole (x = 0) (autrement dit, la parabole est l’antipodaire de cette droite par rapport au foyer) ; c'est donc aussi l’enveloppe de la médiatrice du segment [FH], H décrivant la directrice (autrement dit, l’orthotomique de la parabole par rapport à son foyer est la directrice).

Application : si vous découpez un rectangle de papier, marquez un point (F) à l'intérieur, et formez un certain nombre de pliures en amenant un point d'un côté sur le point F, les pliures seront enveloppées par une parabole.

3) La parabole est l’enveloppe d’une droite passant par deux points ayant des mouvements rectilignes uniformes (voir aussi à courbe de Lamé).

Les courbes que l’on obtient dans les tableaux de fils à montants rectilignes sont donc des arcs de parabole, et non des arcs de cercles comme on pourrait le penser hâtivement.

4) La parabole est une anticaustique de droite.

5) La parabole est une courbe de Ribaucour.

6) La parabole est la courbe à sous-normale constante () ou la courbe à sous-tangente double de l’abscisse ().

Les podaires de parabole sont les cubiques circulaires rationnelles (voir à podaire).

La développée de la parabole est la parabole semi-cubique ; .

Remarquons que les paraboles sont toutes semblables entre elles, et que donc l'image d'une parabole par n'importe quelle transformation affine est une parabole semblable.

Les trajectoires d'un point matériel dans un champ de pesanteur constant sont des droites ou des paraboles :

et de même, les courbes d'écoulement d'un plan incliné sont des droites ou des paraboles.

L'enveloppe de toutes les trajectoires des tirs issus d'un point donné avec une vitesse de départ constante est aussi une parabole dénommée parabole de tir ou de sûreté.

Equation d'un tir :

.
Équation de la parabole de sûreté :

.
avec

, paramètre de cette parabole.
Comme il se doit, le point de tir est au foyer de la parabole de sûreté.

Regarder aussi ce que ceci devient avec un frottement fluide ainsi que ce beau problème.

On obtient également une parabole en faisant tourner un liquide coincé entre deux plaques à vitesse constante ; le paramètre de la parabole est égal à où g est l'accélération de pesanteur et w la vitesse angulaire de rotation.

exemple avec g = 10 et w = 5 radians par seconde La courbe du câble supérieure d'un pont suspendu est une parabole, mais pas celle d'un fil pesant suspendu libre ; voir à chaînette.

Idem pour l'arche d'un viaduc comme celui de Garabit :

Voir des traceurs mécaniques de paraboles sur ce site italien : 1 et 2.

Voir les parallèles à la parabole ici.

Voir aussi la courbe du nageur et les paraboloïdes.

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