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PARABOLOÏDE DE RÉVOLUTION
Paraboloid of revolution, Drehparaboloid

Le paraboloïde de révolution est la surface obtenue en faisant tourner une parabole autour de son axe.
 
Équation cylindrique : .
Équation cartésienne : .
Quadrique.
Paramétrisation cartésienne : ()
Première forme quadratique fondamentale : .
Élément d'aire : .
Deuxième forme quadratique fondamentale : 
Courbure totale : 
Tous les points sont elliptiques et il y a un ombilic : le sommet O.
Volume du bol paraboloïdique de hauteur h, le cercle sommital étant de rayon R () :  (moitié du cylindre circonscrit).
Aire de ce bol : .
Autre paramétrisation :  (les lignes de coordonnées sont des ellipses).

le paraboloïde de révolution est aussi la surface de translation obtenue en translatant une parabole le long d'une parabole égale tourné de 90°.

Courbes remarquables tracées sur le paraboloïde de révolution :
 - les lignes de courbure sont les parallèles (cercles) et les méridiennes (paraboles).
 - il n'y a pas de ligne asymptotique.
 
Les géodésiques sont les courbes solutions de : .
Ce sont des relèvements d'hypercycloïdes :
Paramétrisation   (avec )

  - les hélices.

  - les vasques 3D.
 
On obtient physiquement un paraboloïde de révolution en faisant tourner un liquide à vitesse constante autour d'un axe.

Voir plus généralement les paraboïdes elliptiques.
 
 
On peut aussi faire tourner la parabole autour d'une droite perpendiculaire à son axe.
On obtient une surface qui ressemble à un hyperboloïde de révolution, mais qui est de degré 4.
Équation cylindrique : , Équation cartésienne : .
Paramétrisation cartésienne : 

 

Le four solaire d'Odeillo dans les Pyrénées.
Voir le principe à parabole.

Antenne parabolique

 
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© Robert FERRÉOL 2016