Equation cartésienne : . Quadrique doublement réglée. Paramétrisations cartésiennes :  dont les lignes de coordonnées donnent la double famille de droites :  dont les lignes de coordonnées donnent les paraboles génératrices en tant que surface de translation : dont les lignes de coordonnées donnent la famille d'hyperboles et une famille de paraboles : ou Lignes de striction : paraboles sections par les plans  (rectilignes dans le plan z = 0 dans le cas équilatère). Le paraboloïde est dit équilatère si a = b (les génératrices de chaque famille sont alors deux à deux orthogonales). Equation cartésienne dans le cas équilatère :  (repère tourné de  autour de Oz, ). Équation cylindrique : . Paramétrisations cartésiennes : dont les lignes de coordonnées donnent la famille d'hyperboles et une famille de paraboles : ou  dont les lignes de coordonnées donnent une famille de droites et une famille de couronnes tangentoïdales : Première forme quadratique fondamentale : . Élément d'aire : . Deuxième forme quadratique fondamentale :. Courbure totale :  ; tous les points sont hyperboliques. Courbure moyenne : .

Un paraboloïde hyperbolique peut être défini comme la surface réglée engendrée par les droites
    - rencontrant deux droites non coplanaires en restant parallèles à un plan fixe (sécant à ces deux droites), appelé plan directeur du paraboloïde
    2) rencontrant trois droites 2 à 2 non coplanaires parallèles à un plan fixe (lorsqu'elles ne le sont pas, on obtient l'hyperboloïde à une nappe).
 
 

On peut aussi définir un paraboloïde hyperbolique comme la réunion des droites (MN), les points M et N se déplaçant à vitesse constante sur deux droites non coplanaires. Lien vers une page avec des précisions sur ce sujet.

 

On réalise donc une portion de paraboloïde hyperbolique en tendant des élastiques entre deux tiges rectilignes (les élastiques étant accrochés de façon régulière sur les tiges).

Dans les équations ci-dessus, le paraboloïde est la réunion des droites  parallèles au plan dirtecteur (qui est aussi asymptote) (P) :  et également la réunion des droites  parallèles au plan directeur (P') : .
Le paraboloïde hyperbolique est doublement un conoïde ; plus précisément, c'est un conoïde d'axe l'une des droites , de plan directeur (P') et de directrice une autre droite , et un conoïde d'axe l'une des droites , de plan directeur (P) et de directrice une autre droite .
Le cas équilatère (a = b) correspond au cas du conoïde droit, et c'est un cas particulier de conoïde de Zindler généralisé.

C’est également une surface de translation (translation d’une parabole le long d’une autre, orientée en sens inverse).

Les sections par des plans parallèles à Oz sont des paraboles, et les autres sections planes sont des hyperboles.

Dans le cas équilatère, les sections par des cylindres d'axe Oz sont des courbes de la crêpe.

Courbes remarquables tracées sur le paraboloïde hyperbolique :
 

- les lignes asymptotiques : ce sont les droites incluses.
- les lignes de courbure ; équations des projections dans xOy dans le cas équilatère :  ,   soit (réseau d'hyperboles)
- les géodésiques (cf. centre sportif Saint Ouen)

Voir aussi les surfaces de Bézier et la selle pour singe.
 

Jeu pour enfants, boulevard Richard Lenoir à Paris.

Eglise de Becerril de la Sierra (Espagne) Architecte : Fr. Francisco Coello de Portugal Le Palais du Cnit à Paris, dont la forme rappelle celle du paraboloïde hyperbolique, est en fait, en première approximation, la réunion de trois cylindres paraboliques.

 

Structure formée de 12 portions de paraboloïdes hyperboliques ; les 8 génératrices obliques (joignant 2 milieux de côté de carrés) sont des génératrices d'un hyperboloïde de révolution.

Sculpture d'Angel DUARTE en morceaux de paraboloïdes hyperboliques (Lausanne, Suisse) utilisant cette structure. Elle possède 36 portions de paraboloïdes hyperboliques.

 

Restaurant Los Manantiales à Mexico Architecte : F. Candela 1958

Voûtes à l'intérieur de la sagrada famillia à Barcelone. Architecte : Antoni Gaudi, qui a beaucoup utilisé les PH

Voir d'autres belles photos sur la page du mathouriste.
 

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courbes 2D

courbes 3D

surfaces

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© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2006