SURFACE RÉGLÉE
Ruled surface, Regelfläche
Une surface réglée est une surface
qui est réunion de droites, appelées ses génératrices.
On lui associe son cône directeur, réunion des droites
passant par un point donné et parallèles aux génératrices.
Par trois courbes passe en général une unique
surface réglée, réunion des droites rencontrant ces
trois courbes. Si les trois courbes sont algébriques de degrés
respectifs p,q,r, la surface est "en général" algébrique
de degré
2pqr.
| La famille des droites s'appuyant sur deux courbes données
n'engendre en général pas une surface ; mais c'est le cas
si l'on rajoute une condition supplémentaire, comme rencontrer une
courbe donnée, être parallèle à un plan donné
(surface de Catalan), ou être
développable. |
 |
Les points d'une surface réglée sont hyperboliques
ou paraboliques ; lorsqu'un point est parabolique, tous les points
de sa génératrice le sont et ont le même plan tangent
: la génératrice est dite parabolique ; ceci arrive lorsqu'elle
est tangente à la ligne
de striction et correspond au cas où le paramètre de
distribution est nul.
Exemples :
- les cônes,
les cylindres, et plus généralement
les surfaces développables
(cas où toutes les génératrices sont paraboliques).
- les conoïdes
(dont le paraboloïde
hyperbolique) et plus généralement les surfaces
de Catalan (cône directeur plan) ou les surfaces
conoïdales.
- les hyperboloïdes
à une nappe.
- les hélicoïdes
réglés (dont l’hélicoïde droit et l’hélicoïde
développable).
- la surface
de Möbius et plus généralement les surfaces
réglées de Cayley.
- la surface d'Hector
Guimard.
Les quadriques
propres réglées sont les surfaces réunions des droites
rencontrant trois droites deux à deux non coplanaires : paraboloïde
hyperbolique dans le cas où les trois droites sont parallèles
à un plan fixe et hyperboloïde
à une nappe dans l'autre cas ; ce sont les seules surfaces doublement
réglées (i.e. qui sont réunion de deux familles
de droites distinctes).
Les surfaces cubiques
réglées sont les cones et cylindres de directrice une
cubique, les surfaces conoïdales du 3ème degré et les
surfaces réglées de Cayley.
Les surfaces de révolution réglées
sont les hyperboloïdes
à une nappe.
© Robert FERRÉOL
2003, Robert March 2003
.
,
réunion des génératrices Du
passant par 
et dirigées par 
(en simplifié : 
);
cône directeur : 
.
.
, senestre si 
; elle est développable
ssi d = 0.
où 
est la distance entre Du
et Du+du
et 
,
l'angle entre Du
et Du+du
.