L'oloïde est l'enveloppe convexe de deux cercles orthogonaux passant chacun par le centre de l'autre. Sa surface est une partie de la  surface développable s'appuyant sur les deux cercles (dem : H. POTTMANN, J. WALLNER : Computational Line Geometry, Springer-Verlag Telos (2001) p. 405)
 

Vue de l'orthobicycle avec les génératrices limitées aux deux cercles directeurs. La surface est invariante par les deux retournements échangeant les deux cercles et donc formée de 2 parties symétriques, ici en rouge et en bleu.  Les axes des retournements sont les deux droites perpendiculaires passant par le milieu des centres des 2 cercles, perpendiculaires à l'axe des centres, et faisant un angle de 45° avec les plans des cercles.

Vue de la surface développable avec les génératrices prolongées, montrant l'arête de rebroussement, composée de 4 branches.

 

Construction géométrique des génératrices. Le plan tangent est le même tout le long de la génératrice (MN)  (M décrivant le premier cercle et N le deuxième) ; les deux tangentes aux cercles en M et N  sont donc incluses dans ce plan ; mais elles sont aussi chacune incluses dans les plans des cercles, lesquels se coupent en une droite (D) ; les deux tangentes se coupent donc sur (D), ce qui détermine M connaissant N et vice versa (ceci vaut d'ailleurs pour n'importe quelle surface développable s'appuyant sur deux courbes planes).

 

Si l'on choisit  et , la relation entre u et t est donnée par . La distance MN est constante, égale à Ö3. Équation cartésienne de la surface : . Surface algébrique de degré 8. Volume de l'oloïde : . Aire de la surface latérale : 4 p (= aire de la sphère de rayon 1)

Le roulement des deux cercles sur un plan donne le patron de cette surface (modèles réalisés par Robert March) :

 
 

On peut généraliser l'oloïde au cas de 2 cercles orthogonaux de mêmes rayons mais avec une distance quelconque entre les centres. Le cas où les cercles ont le même centre donne une réunion de 4 portions de cylindres elliptiques.

Modeles en papier réalisés par Yves Maniette

 

Liens : Site du TIPE de Mikael Freychet Etude mathématique de l'oloïde (donnant entre autres la paramétrisation de la courbe limitant le dévelopement de l'oloïde) Site sur l'oloïde en allemand Site consacré à Paul Schatz Physique, jouets et art Taille d'un oloïde en bois  Utilisation de l'oloïde pour le brassage de l'eau.

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