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SURFACE DE MÖBIUS
Mobius surface, Möbiussche Fläche


Voir les énoncés X 1977 math 2  et agreg 1929.

 
Paramétrisation cartésienne : .
Équation torique.
Équation cylindrique : .
Équation cartésienne :  (comprenant en plus le plan y = 0), soit  ou encore .
Surface cubique réglée.
Courbure totale : .
Droite d'auto-intersection : x = -a ; y = z ; axe de symétrie Ox.
Cône directeur de directrice  qui est une clélie de paramètre n = 1/2.

La surface de Möbius est la surface réglée non développable engendrée par la rotation d'une droite dans un plan tournant lui même autour d'une de ses droites avec une vitesse angulaire double de celle de la droite ; c'est donc un cas particulier de rotoïde.

La surface de Möbius est ainsi appelée car sa portion obtenue pour  avec  est un ruban de Möbius.

On peut aussi la définir comme la surface réglée ayant pour directrices un cercle (ici, ), l'axe de ce cercle (ici, Oz)  et une droite inclinée de 45° sur le plan de ce cercle, se projetant en une tangente au cercle (ici, x = -a , y = z ). Possédant deux directrices rectilignes, c'est une surface conoïdale.
 
Les points d'intersection respectifs de la génératrice avec le cercle, l'axe rouge et la droite verte sont .

 

La surface de Möbius est d'ailleurs projectivement équivalente au conoïde de Zindler ; en effet, le changement   transforme l'équation homogène  de la surface de Möbius en l'équation  de ce conoïde.

Les sections par les plans horizontaux z = b sont des strophoïdes, d'équation .
La section par la sphère de centre O et de rayon R est formée d'une courbe de Viviani et de l'équateur de la sphère.


Portion de surface de Möbius montrant l'évolution d'un segment horizontal à un segment vertical.


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© Robert FERRÉOL  2007