SURFACE DE MÖBIUS
Mobius surface, Möbiussche Fläche
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SURFACE DE MÖBIUS
Mobius surface, Möbiussche Fläche
| Voir les énoncés X 1977 math 2 et agreg 1929. |
Paramétrisation cartésienne :  .
Équation torique :  .
Équation cylindrique :  .
Équation cartésienne : 
(comprenant en plus le plan y = 0), soit 
ou encore  .
Surface cubique
réglée.
|
La surface de Möbius est la surface réglée non développable engendrée par la rotation d'une droite dans un plan tournant lui même autour d'une de ses droites avec une vitesse angulaire double de celle de la droite ; c'est donc un cas particulier de rotoïde.
La surface de Möbius est ainsi appelée car sa portion obtenue pour -b £ u £b avec b £ a est un ruban de Möbius.
On peut aussi la définir comme la surface réglée
ayant pour directrices un cercle (ici, 
),
l'axe de ce cercle (ici, Oz) et une droite inclinée
de 45° sur le plan de ce cercle, se projetant en une tangente au cercle
(ici, x = -a , y = z ). Possédant deux directrices rectilignes,
c'est une surface conoïdale.
 |
Les points d'intersection respectifs de la génératrice
avec le cercle, l'axe rouge et la droite verte sont  . |
La surface de Möbius est d'ailleurs projectivement
équivalente au conoïde de
Zindler ; en effet, le changement 
transforme l'équation homogène 
de la surface de Möbius en l'équation 
de ce conoïde.
Les sections par les plans horizontaux z = b
sont des strophoïdes,
d'équation 
.
| La section par la sphère de centre O et de rayon R est formée d'une courbe de Viviani et de l'équateur de la sphère. |  |
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© Robert FERRÉOL 2007
qui est une