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COURBE DE VIVIANI
Viviani's curve, Vivianische Kurve

Courbe étudiée par Roberval et Viviani en 1692.
Vincenzo Viviani (1622-1703) : mathématicien italien.
Autre nom : vivianienne.
Nom initial donné par Roberval : cyclo-cylindrique.
Voir aussi la page du mathouriste.

 
Système d’équations cartésiennes : .
Système d’équations sphériques :  (longitude = latitude).
Paramétrisation cartésienne :  (où ) ou :  (avec ), forme utilisée dans la suite.

Biquadratique (quartique de première espèce) rationnelle.
Abscisse curviligne : .
Système d’équations cylindriques dans le repère (A) où A(a, 0, 0) : .
La longueur totale est égale à la longueur d'une ellipse de demi-axes et R, exprimée par une intégrale elliptique, .
Aire de la double fenêtre découpée sur la sphère (appelée "fenêtre de Viviani") :  ; contrairement à celle du cercle, la quadrature de la surface complémentaire de la fenêtre de Viviani sur la sphère est possible (aire = 8 R²).
Volume du solide commun à la boule et à l'intérieur du cylindre (appelé "temple de Viviani") : ; si l'on retire donc deux temples de Viviani symétriques à la sphère, la cubature du solide restant (de volume ) est possible.

La courbe de Viviani est l’intersection d'une sphère de rayon R (ici, ) et d'un cylindre de révolution de diamètre R dont une génératrice passe par le centre de la sphère (ici, ) ; c’est donc un cas particulier d’hippopède, une courbe à la fois sphérique et cylindrique, ainsi qu'un cas particulier de rosace conique.

On obtient donc une fenêtre de Viviani en plantant la pointe d’un compas à l'intérieur d'un cylindre de révolution et en traçant sur ce cylindre un “cercle” de même rayon que le diamètre du cylindre.

La courbe de Viviani est aussi incluse dans un cône de révolution dont l'axe est une génératrice du cylindre ci-dessus (ici, ), et dans un cylindre parabolique (ici, ), ce qui donne en tout 6 définitions de la courbe de Viviani comme intersection de 2 quadriques, et 3 définitions par le mouvement d'un compas sur un cylindre de révolution, un cône de révolution, ou un cylindre parabolique.
 
La courbe de Viviani est aussi une portion de la section de la surface de Möbius avec une sphère (section comportant aussi un grand cercle de la sphère).

 
Le système d’équations sphériques montre que la courbe de Viviani est un cas particulier de clélie.
Elle est donc le lieu d’un point M d’un méridien d’une sphère tournant à vitesse constante autour de l’axe polaire, le point M se déplaçant à la même vitesse sur ce méridien.

 
Le système d’équations cylindriques montre que la courbe de Viviani est aussi un cas particulier de couronne sinusoïdale.

Si donc l'on développe le cylindre sur lequel est tracée la courbe de Viviani, on obtient une période de sinusoïde : , avec . On obtient donc facilement une fenêtre de Viviani en découpant dans du papier la figure formée par deux arches de sinusoïde en vis-à-vis et en enroulant la feuille pointe contre pointe.


 
Si l'on fixe l'extrémité d'une barre de longueur L sur un cylindre vertical de diamètre L, l'extrémité libre, en glissant le long du cylindre par effet de la gravité, va décrire l'intersection du cylindre avec une sphère de rayon L centrée sur lui, autrement dit la courbe de Viviani.

Une série de barres identiques à la précédente engendre une élégante animation d'hyperboloïdes de révolution (idée de André Hubert).

 

De nombreuses quartiques rationnelles planes sont des projection de la courbe de Viviani.

On obtient :
un cercle sur le plan xOy un arc de parabole sur le plan xOy  xOz  une lemniscate de Gerono sur le plan yOz

Et plus généralement :
 
les besaces sur les plans passant par Oz les poissons sur les plans passant par Oy des bifoliums généralisés sur les plans passant par Ox

 
La projection stéréographique de pôle nord (ou sud) est la strophoïde droite d’équation : .

 
La projection stéréographique de pôle le point diamétralement opposé au point double est la lemniscate de Bernoulli .

La projection gnomonique (de centre O) est un kappa.
 
 
Comme vu ci-dessus, la portion de 1/2 sphère située en dehors de deux fenêtres de Viviani symétriques a une aire dont le rapport à R² est rationnel, contrairement à l'aire de la 1/2 sphère ; Viviani l'avait nommée : vela quadrabile fiorentina (voile florentine dont on peut réaliser la quadrature). 
(Exemple de vela quadrabile fiorentina en architecture ?)

Voir aussi à surface d'égale pente, ainsi que le cône de centre O s'appuyant sur la courbe de Viviani, que l'on pourrait dénommer "cône de Viviani".
 

Sphère recouverte d'un réseau de courbes de Viviani
(lignes de coordonnées de la paramétrisation ).

Voir aussi le cône paramétré par des courbes de Viviani.


 
 

Sculptures de Marta Pan à Dallas

Qui remarquera la courbe de Viviani à l'arrière de cette cuve rouillée ?


 
 
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© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2015