COURBE DE VIVIANI
Viviani's
curve, Vivianische Kurve
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COURBE DE VIVIANI
Viviani's
curve, Vivianische Kurve
| Courbe étudiée par Roberval et Viviani
en 1692.
Vincenzo Viviani (1622-1703) : mathématicien italien. Autre nom : vivianienne. Nom initial donné par Roberval : cyclo-cylindrique. Voir aussi la page du mathouriste. |
Système d’équations cartésiennes
:  .
Système d’équations sphériques : 
(longitude = latitude).
Paramétrisation cartésienne : 
(où  )
ou : 
(avec  ),
forme utilisée dans la suite.
Biquadratique
(quartique de première
espèce) rationnelle.
|
La courbe de Viviani est l’intersection d'une sphère
de rayon R (ici, 
)
et d'un cylindre de révolution de diamètre
R dont
une génératrice passe par le centre de la sphère (ici, 
)
; c’est donc un cas particulier d’hippopède,
une courbe à la fois sphérique
et cylindrique, ainsi qu'un
cas particulier de rosace
conique.
On obtient donc une fenêtre de Viviani en plantant la pointe d’un compas à l'intérieur d'un cylindre de révolution et en traçant sur ce cylindre un “cercle” de même rayon que le diamètre du cylindre.
La courbe de Viviani est aussi incluse dans un cône
de révolution dont l'axe est une génératrice du cylindre
ci-dessus (ici, 
),
et dans un cylindre parabolique (ici, 
),
ce qui donne en tout 6 définitions de la courbe de Viviani comme
intersection de 2 quadriques, et 3 définitions par le mouvement
d'un compas sur un cylindre de révolution, un cône de révolution,
ou un cylindre parabolique.
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| Les combinaisons linéaires de deux de ces quadriques donnent d'ailleurs une famille infinie de quadriques contenant la courbe de Viviani, toutes de révolution sauf le cylindre parabolique : |  |
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La courbe de Viviani est aussi une portion de la section de la surface de Möbius avec une sphère (section comportant aussi un grand cercle de la sphère). |
| Le système d’équations sphériques
montre que la courbe de Viviani est un cas particulier de clélie.
Elle est donc le lieu d’un point M d’un méridien d’une sphère tournant à vitesse constante autour de l’axe polaire, le point M se déplaçant à la même vitesse sur ce méridien. |
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| Le système d’équations cylindriques montre
que la courbe de Viviani est aussi un cas particulier de couronne
sinusoïdale.
Si donc l'on développe le cylindre sur lequel est
tracée la courbe de Viviani, on obtient une période de sinusoïde
: |
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| Ci-contre, animation de l'enveloppement d'un feuille
bordée par une arche de sinusoïde, donnant au final une courbe
de Viviani.
Paramétrisation :  ,
avec
t entre 
et  , u
entre 0 et 1, et l'animation de =
0,001 à  .
Notons qu'à mi-chemin (  ),
la courbe est une demie-ellipse. |
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| Si l'on fixe l'extrémité d'une barre de
longueur L sur un cylindre vertical de diamètre L,
l'extrémité libre, en glissant le long du cylindre par effet
de la gravité, va décrire l'intersection du cylindre avec
une sphère de rayon L centrée sur lui, autrement dit
la courbe de Viviani.
Une série de barres identiques à la précédente engendre une élégante animation d'hyperboloïdes de révolution (idée d'André Hubert).
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De nombreuses quartiques rationnelles planes sont des projections de la courbe de Viviani.
On obtient :
| un cercle sur le plan xOy | un arc de parabole sur le plan xOy xOz | une lemniscate de Gerono sur le plan yOz |
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Et plus généralement :
| les besaces sur les plans passant par Oz | les poissons sur les plans passant par Oy | des bifoliums généralisés sur les plans passant par Ox |
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La projection stéréographique de pôle
nord (ou sud) est la strophoïde
droite d’équation :  . |
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| La projection stéréographique de pôle le point diamétralement opposé au point double est la lemniscate de Bernoulli . |  |
La projection gnomonique (de centre O) est un kappa.
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Comme vu ci-dessus, la portion de 1/2 sphère située
en dehors de deux fenêtres de Viviani symétriques a une aire
dont le rapport à R² est rationnel, contrairement à
l'aire de la 1/2 sphère ; Viviani l'avait nommée : vela quadrabile
fiorentina (voile florentine dont on peut réaliser la quadrature).
Note : je ne connais pas d'exemple de vela quadrabile fiorentina
en architecture. Il avait été écrit qu'une église
de Milan en présentait une, mais c'était une erreur. |
Voir aussi à surface
d'égale pente, le
cône de centre O s'appuyant sur la courbe de Viviani,
que l'on pourrait dénommer "cône de Viviani", la surface
obtenue par pliage d'un cylindre en papier le long de la courbe de
Viviani.
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Sphère recouverte d'un réseau de courbes de Viviani (lignes de coordonnées de la paramétrisation  ).
Voir aussi le cône paramétré par des courbes de Viviani. |
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Sculptures de Marta Pan à Dallas |
Qui remarquera la courbe de Viviani à l'arrière de cette cuve rouillée ? |
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© Robert FERRÉOL 2017
,
rayon de courbure : 
,
rayon de torsion : 
.
)
où A(a, 0, 0) : 
.
et R, exprimée par une intégrale elliptique, 
.
; contrairement à celle du cercle, la quadrature de la surface complémentaire
de la fenêtre de Viviani sur la sphère est possible (aire
= 8 R²).
;
si l'on retire donc deux temples de Viviani symétriques à
la sphère, la cubature du solide restant (de volume 
)
est possible.
, avec 
.
On obtient donc facilement une fenêtre de Viviani en découpant
dans du papier la figure formée par deux arches de sinusoïde
en vis-à-vis et en enroulant la feuille pointe contre pointe.