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HIPPOPÈDE (D'EUDOXE)
Horse fetter, Pferdefessel

Du grec "Hippos"  cheval et  "pédè"  entrave (une entrave de cheval grecque avait cette forme de huit).
Eudoxe de Cnide (406 - 355 avant J.C.) : astronome, mathématicien et philosophe grec.
Autre nom : lemniscate sphérique.

 
Équation cartésienne :  (R est le rayon de la sphère et a la distance du centre O de la sphère à l'axe du cylindre, avec 0 < a < R).
Paramétrisation cartésienne : .
Biquadratique (quartique de première espèce) rationnelle.

L'hippopède d'Eudoxe est l'intersection d'une sphère avec un cylindre de révolution tangent ; c'est donc une courbe à la fois sphérique et cylindrique.
 

Lorsque a = R/2, on obtient la courbe de Viviani.

Mais en fait, l'examen de la paramétrisation cartésienne montre que les hippopèdes d'Eudoxe sont toutes affines entre elles, et donc en particulier, images par une affinité de la courbe de Viviani.

Les projections sur les plans xOy, xOz et yOz sont respectivement un cercle, un arc de parabole et une lemniscate de Gerono, d'équation : .

L'hippopède possède la construction dynamique suivante, correspondant à la définition historique d'Eudoxe :
 
L'hippopède est le lieu d'un point d'un grand cercle incliné d'un angle a sur le plan de l'équateur tournant à vitesse constante autour de l'axe des pôles, le point parcourant le grand cercle à la même vitesse, en sens inverse ; le rayon du cylindre dans lequel est inscrit l'hippopède vaut alors .
On aboutit par cette construction à la paramétrisation :

 
L'hippopède est donc un cas particulier de courbe des satellites, correspondant aux satellites géosynchrones (ayant une période de révolution d'un jour).
Voici par exemple la projection sur un planisphère de la trajectoire apparente du satellite Syncom 2.

(merci à Thierry Pré)


 
 
Les deux arches de voûte ci-contre, situées dans la basilique San Fedele de Milan sont deux arches d'une demi-hippopède, comme le montre la figure de droite (intersection d'une demi-sphère avec un cylindre) : 

Ne pas confondre avec l'hippopède de Proclus, aussi nommée courbe de Booth.

Comparer avec la bicylindrique obtenue avec deux cylindres tangents.
 
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© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2009