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COURBE ALGÉBRIQUE 3D
Algebraic 3D curve, algebraïsche 3D Kurve




Une courbe algébrique 3D est l'intersection de deux surfaces algébriques. Son degré est le produit des degrés des deux surfaces ; c'est aussi le nombre (compté avec les multiplicités) de points d'intersection (complexes et projectifs),  de la courbe avec un plan quelconque.

La courbe intersection de deux surfaces algébrique peut se décomposer en réunion de courbes de degrés inférieurs dont la somme est égale au degré de la courbe complète.

Les courbes algébriques 3D de degrés 1 et 2 sont la droite et les coniques.

Les cubiques 3D, de degré 3, sont les intersections de 2 quadriques réglées ayant une droite commune.
Exemples : la parabole gauche, líhoroptère.

Les quartiques 3D, de degré 4, sont de deux espèces :
 - première espèce : intersection de quadriques sans droite commune (appelées les biquadratiques : 4 = 2 . 2)
 - deuxième espèce : intersections d'une surface cubique avec une quadrique réglée ayant deux droites communes ().
Exemple : la ligne de striction d'un hyperboloïde à une nappe.

Les appellations sont les mêmes que pour les courbes planes (qui sont des cas particuliers).
Exemple de biquartique : la courbe d'Archytas.

Exemples de familles de courbes algébriques 3D de degrés quelconques :
    - les courbes 3D de Lissajous (dont les couronnes sinusoïdales)
    - les clélies.

Exemple de section entre deux surfaces algébrique, montrant que le cadre de tout ceci est la géométrie projective complexe :
Intersection entre le conoïde de Plücker (degré 3) :  et le cylindre de degré 2 :  ; en coordonnées homogènes, donc l'intersection est formée de l'ellipse  (degré 2), de la droite double  et des deux droites imaginaires  : on a bien 6 = 2 + 2 + 1 + 1.
 
 
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© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2012