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ANAMORPHOSE EN 3D
Anamorphosis


Du grec ana "en remontant, qui marque le retour vers", et morphe "forme".

Le terme anamorphose désigne d’une façon générale, la transformation qui à un objet fait correspondre l'objet dont il est l'image virtuelle dans un système optique, pour un observateur donné situé à distance finie ou infinie.
 
 
Dans l'espace, nous définirons l'anamorphose associée à une surface  (le miroir) et un point  (l'observateur) comme la relation qui à tout point M fait correspondre son (ou ses) symétrique(s) par rapport au miroir en partant de, c'est-à-dire tout point M' symétrique de M par rapport au plan tangent en H à , H  étant un point d'intersection de la droite (M) avec le miroir  ; de la sorte, un rayon lumineux issu de M' arrive dans les yeux de l'observateur après réflexion en H et M' est une image virtuelle de M. En clair, l'observateur croit voir M, alors qu'il voit M'.

 
On obtient les coordonnées de M' par la relation  où  est le vecteur normal à  en H.

Cette relation transforme une courbe  en une courbe , dite anamorphose de la première.

Exemples :

    - une anamorphose plane ( = plan) n'est autre qu'une réflexion.

    - anamorphose sphérique :
 

Ici,  est la sphère de centre O et de rayon 1, 
l'observateur est à l'infini dans la direction de Oz
et M(x, y, z), M'(x', y', z') :
on a avec  et u = x, v =y
(donc , e = 1 pour la 1/2 sphère z > 1, e = -1 pour l'autre) ; on obtient, en utilisant les coordonnées cylindriques données par 


soit : .
Formule approchée (voir ci-contre) pour .


 
Vue d'une anamorphose sphérique pour un observateur situé à l'infini dans la direction de Oz, avec transformation d'un quadrillage et d'une courbe.

Le quadrillage en dôme est le quadrillage réel dont l'image virtuelle pour un observateur situé sur Oz à l'infini est le quadrillage plan.


 

Image obtenue en utilisant la formule approchée ci-dessus
Image réfléchie par la sphère d'un quadrillage placé dans le plan z = 1, pour un observateur situé à l'infini dans la direction de Oz.
Le rayon de la boule interne vaut 1/, le quadrillage se reflétant sur la partie de la sphère de colatitude comprise entre 0 et /4.


Image réalisée par Alain Esculier, avec le logiciel Povray ; un cylindre a été placé derrière la sphère.


 
Image réfléchie par la demi-sphère z < 0 d'un quadrillage placé dans le plan z = 0.

Résultat réel :

voir aussi :
melusine.eu.org/syracuse/mluque/BouleMiroir/boulemiroir.html

    - anamorphose cylindrique : voir la page sur le cas plan ; les formules de transformation pour le cylindre  et un observateur à l'infini dans la direction de Oy sont 
 
Image réfléchie par le cylindre  de droites verticales et d'une sinusoïde placées dans le plan y = - 1 .

    - Anamorphose conique :
 
Lorsque l'observateur est à l'infini dans la direction de l'axe du cône, l'anamorphose est la transformation qui dans tout plan passant par l'axe du cône se réduit à la symétrie par rapport à la génératrice correspondante (voir figure).
Si  est le cône d'axe Oz de demi-angle au sommet f ;  la relation d'anamorphose s'écrit donc en coordonnées cylindriques : , et .

On en tire  : si l'anamorphose d'une courbe est située dans un plan perpendiculaire à l'axe, cette anamorphose est une conchoïde de la vue de dessus de la courbe de départ, et réciproquement.


 
Vue d'une anamorphose conique pour un observateur situé à l'infini dans la direction de Oz, avec transformation d'un quadrillage et d'une courbe.
Le quadrillage image est formé de portions de conchoïdes de droites, et l'image du cercle noir est une portion de conchoïde de cercle, ou limaçon de Pascal.

Vue du reflet d'un réseau de conchoïdes de Nicomède (réalisée par alain Esculier avec povray)

Transformation inverse, d'un quadrillage extérieur.
Les courbes reflétées sont de nouveau des portions de conchoïdes de Nicomède.

Voir un pantographe pour l'anamorphose conique sur www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/095aogg.htm

Pour certains auteurs, le terme d'anamorphose désigne plus simplement la transformation qui à un objet fait correspondre son symétrique par rapport à un miroir courbe.
 
Dans l'espace, l'anamorphose (au sens n°2) associée à une surface  (le miroir) est la relation qui à tout point M fait correspondre son (ou ses) symétrique(s) par rapport au miroir, c'est-à-dire tout point M' symétrique de M par rapport à un projeté orthogonal H de M sur .

Contrairement à l'anamorphose vue précédemment, cette relation est symétrique.

Quelques images réalisées par Alain Esculier :
 

Anamorphose sphérique convexe


Anamorphose conique

Anamorphose cylindrique concave ; ce miroir concave inversant droite-gauche, l'écriture est dans le bon sens dans le miroir contrairement à un miroir plan !

Anamorphose sphérique concave : il y a inversion droite-gauche et haut-bas.

 
 
M.C. Escher
Main tenant un miroir sphérique
1935

M.C. Escher
Trois Sphères II
1946
La géode, Cité des Sciences

Les miroirs déformants du jardin d'acclimatation.


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© Robert FERRÉOL  2004