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LEMNISCATE DE BERNOULLI
Lemniscate of Bernoulli, Bernoullische Lemniskate


Courbe étudiée par Jacques Bernoulli en 1694 et Fagnano en 1750.
Jacques Bernoulli (1654 -1705) : mathématicien suisse.

 

Équation bipolaire :  (où d est la demi-distance entre les pôles F et F', foyers de la lemniscate).
Équation tripolaire :   (O milieu de F et F').

Équation polaire :  (avec  , F(d, 0), F'(-d,0)).

Équation cartésienne : .
Quartique bicirculaire rationnelle.
Paramétrisation cartésienne :  ().
Paramétrisation cartésienne rationnelle :  ( ),
soit en complexes : .
Autre paramétrisation cartésienne :  ().
Paramétrisation cartésienne de la courbe complexifiée : .
Équation complexe : .
Équation podaire.
Angle tangentiel polaire : .
Abscisse curviligne : .
Rayon de courbure : .
Equation intrinsèque :.
Longueur : , où , intégrale elliptique de première espèce, est la constante de la lemniscate (prononcer "pi script"), à rapprocher de .
On a aussi : 
.
Aire totale : a2.

La lemniscate de Bernoulli dispute à la cardioïde le record du nombre d'appartenances aux diverses familles de courbes remarquables.

Elle est en effet :
- un cas particulier d'ovale de Cassini (voir l’équation bipolaire)  
- un cas particulier de courbe de Booth.  
- un cas particulier de spirale sinusoïdale (voir l’équation polaire)  
- comme toute quartique bicirculaire rationnelle : à la fois podaire par rapport à O et inverse (cercle d'inversion de diamètre [A(a,0) ; A'(-a,0)]) de l’hyperbole équilatère de centre O et de sommets A et A' ; F et F' sont les inverses des foyers de cette hyperbole et les tangentes à l'origine, les inverses des asymptotes.
- c'est donc aussi, en tant que podaire, l’enveloppe des cercles de diamètre d'extrémités son centre et un point de cette hyperbole.  
- ainsi que le lieu du centre d'une hyperbole roulant sans glisser sur une hyperbole égale, avec des sommets coïncidants.
- la cissoïdale du cercle de centre F passant par O et du cercle de centre  et de rayon a.  
- la cissoïdale de pôle O des cercles (C) et (C') de centres F et F' et de rayon a/2.

En pointillé les cercles (C) et (C'), en bleu leurs homothétiques dont la lemniscate est la médiane.

- le lieu des milieux des segments de longueur 2d dont les extrémités décrivent les deux cercles de rayon a centrés en F et F'.
La lemniscate est donc une courbe du trois-barre, dans le cas particulier de la courbe de Watt ; d'après le principe de l'échange bielle manivelle, il existe une deuxième construction avec quadrilatère articulé :
- la section d'un tore, de rayon de révolution d et de rayon de méridienne d/2, par un plan situé à une distance d/2 de l'axe (la lemniscate est donc une spirique de Perseus)
- la courbe passant par O dont la courbure est proportionnelle à la distance à O (comparer avec la courbe élastique, dont la courbure est proportionnelle à la distance à une droite fixe)  
- le lieu des points M tels que   
- la projection sur le plan xOy de la biquadratique , intersection d'un cône de révolution et d'un paraboloïde de révolution :

D'autre part :

- les courbes asymptotiques du conoïde de Plücker se projettent suivant des lemniscates de Bernoulli.

- la lemniscate de Bernoulli est une courbe synodale de toutes ses sécantes issues du point double :

La développée de la lemniscate de Bernoulli a pour paramétrisation .
On constate que les deux sommets correspondent à des maximums de courbure...
...contrairement à la lemniscate de Gerono. où ils correspondent à des minimums...

 

Mécanisme de Watt pour construire la lemniscate

Familles de lemniscates orthogonales

Voir ici comment "épaissir" une lemniscate:.
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2011