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SPIRIQUE DE PERSÉE
Spiric
of Perseus, Perseussche spirische Kurve
Persée,
IIe siècle avant J.C. : géomètre grec.
Autre nom : spirique de Perséus. |
Équation cartésienne réduite :
avec A > B, soit .
Quartique bicirculaire, rationnelle si C = 0, n'ayant de points réels que si . Équation polaire : . |
Les spiriques de
Persée sont les quartiques
bicirculaires ayant un centre de symétrie. Ce sont les donc
les cycliques dont la déférente
est une conique à centre, par rapport au centre de cette conique,
autrement dit les enveloppes de cercles dont le centre décrit une
conique à centre, et tels que le centre de la conique a une puissance
constante par rapport à ces cercles.
Cas 0 < B < A fixés, C variant de moins l'infini à A2 , cas du tore croisé. Pour , les courbes sont des ovales (courbes jaunes), pour C = 0 on obtient un ovale de Booth (en violet), avec point isolé au centre, pour , courbes à deux composantes, un haricot et un ovale (en bleu), pour , réunion des cercles de centres , de rayon , pour , les courbes, bien que réelles, ne correspondent plus à des sections de tore réel, pour , courbes à deux composantes non convexes (vertes), pour , courbes à deux composantes convexes (cyanes), pour , courbes réduites à deux points . |
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Cas -A < B < 0 < A fixés, C variant de moins l'infini à A2, cas du tore ouvert Pour , les courbes ont des formes d'ovales puis de haricot (courbes jaunes), pour C = 0 on obtient un ovale de Booth (en violet), pour , courbes à deux composantes(en bleu), pour , réunion des cercles de centres , de rayon , pour , les courbes, bien que réelles, ne correspondent plus à des sections de tore réel, pour , courbes à deux composantes non convexes (vertes), pour , courbes réduites à deux points . |
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Historiquement ces courbes ont été définies
comme sections d'un tore par
un plan parallèle à son axe ; mais pour obtenir toutes les
courbes réelles données ci-dessus, il faut accepter de considérer
des tores complexes.
Pour un tore de centre O, d'axe Oz, de
rayons majeurs et mineurs a et
b, coupé par le plan
parallèle à Oz situé à une distance
d
de O, on obtient dans un repère d’origine le projeté
de O sur ce plan l'équation cartésienne ci-dessus
avec : .
Ceci provient de l'équation :
de ces courbes.
On constate alors que le tore ci-dessus n'est réel
que si .
Spiriques de Persée de tore ouvert |
Spiriques de Persée de tore croisé |
Lorsque ,
soit d = b (distance du plan à l'axe égale
au rayon mineur), on obtient les ovales
de Cassini, qui se réduisent à la lemniscate
de Bernoulli lorsque C = 0, soit a = 2 b.
Lorsque C = 0, soit
(plan tangent intérieurement au tore), on obtient les courbes
de Booth (ou hippopèdes de Proclus), qui se réduisent
également à la lemniscate de Bernoulli lorsque a
= 2 b.
Le cas limite A = B (cas où le tore est réduit à une sphère) donne des cercles.
Les spiriques de Persée sont aussi les isoptiques
des coniques à centre.
Les courbes d'équation tripolaire
où O est le milieu de [FF'] forment une sous-famille
à un paramètre des spiriques de Persée.
En effet dans le repère où
et ces
courbes ont pour équation : ,
donc pour cette famille :
.
Les courbes ne correspondent à des sections de
tore réel que pour .
Pour , on obtient les deux "foyers" F et F', pour , courbe à deux composantes ovales (vertes), pour , courbes à deux composantes non convexes (rouges), pour k = 2, réunion de deux cercles de centres les foyers et de rayon , pour k > 2, courbes à deux composantes (cyanes) |
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Disque en matière biréfringente chargé diamétralement et observé en lumière monochromatique polarisée. Les lignes noires - les isochromatiques - sont les lieux des points pour lesquels la différence des 2 contraintes principales est constante. Photo de M. Konieczka et Mme Gautherin, laboratoire de Mécanique du Département de Génie Mécanique de l'ENS de Cachan |
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© Robert FERRÉOL 2024