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QUARTIQUE BICIRCULAIRE
Bicircular quartic, Doppelkreisquartik


Équation cartésienne (réduite) : .

Les quartiques bicirculaires sont les cycliques dont la déférente est une conique à centre, autrement dit les enveloppes de cercles dont le centre décrit une conique à centre, et tels qu'un point fixe ait une puissance constante par rapport à ces cercles.PB: C ou D = 0

Si la déférente est  (donc centrée en O), Le point fixe : (a, b), la puissance : p et , la quartique bicirculaire a pour équation l'équation ci dessus, avec

Dans certains cas, la puissance p obtenue est complexe (par exemple si C = D = 0 et E < 0).

Exemples :
(Rappelons que le cercle d'inversion est le cercle de centre W et de rayon  ).
 
Type Condition portant sur A, B, C, D, E permettant d'obtenir la généralité de l'exemple.  Condition portant sur L, M, N, a, b permettant d'obtenir la généralité de l'exemple CNS portant sur le cercle d'inversion et la déférente, permettant d'obtenir la généralité de l'exemple.
quartique bicirculaire rationnelle    le cercle d'inversion est réduit à un point ou tangent à la déférente
cartésienne A = B, D = 0 L = M, b = 0, la déférente est un cercle
ovale de Descartes complet   L = M = R2, b = 0 la déférente est un cercle et p < 0, ou p ³ 0 et les cercles déférent et d'inversion sont non sécants.
limaçon de Pascal   L = M, b = 0, p = 0 la déférente est un cercle et le cercle d'inversion se réduit à un point ou est tangent au cercle directeur
cardioïde ,b = 0 la déférente est un cercle et le cercle d'inversion se réduit à un point de ce cercle
spirique plane A ¹ B et D = 0 L ¹ M et b = 0 la déférente n'est pas un cercle et le cercle d'inversion est centré sur un axe de la déférente
spirique de Persée A ¹ B et C = D = 0  L ¹ M et a = b = 0 la déférente n'est pas un cercle et le cercle d'inversion est centré au centre de la déférente
ovale de Cassini B = -A et C =D =0 L +M +N =0 et a = b = 0 Le cercle d'inversion est le cercle de Monge de la déférente.
courbe de Booth C = D = E = 0  a = b = N = 0 Le cercle d'inversion est réduit au centre de la déférente
lemniscate de Bernoulli B = -A et C =D = E = 0 M = - L
et a = b = N = 0
La déférente est une hyperbole équilatère et le cercle d'inversion est réduit au centre de celle-ci

Les quartiques bicirculaires sont les courbes inverses des ovales de Descartes ; plus précisément, si l’on pose , la quartique ci-dessus est l’image de l’ovale de Descartes :  par une inversion de pôle , transformant  en  et en .
Elles contiennent donc les ovales de Descartes comme cas particuliers.

La courbe est non vide ssi les trois sommes  ne sont pas simultanément > 0 ni simultanément < 0 ; cette condition est équivalente à ce que parmi les trois coefficients a’, b’, g’, on puisse choisir deux coefficients les plus grands en valeur absolue qui sont de signe contraire (au sens large).
 
 
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© Robert FERRÉOL  2001