courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

QUARTIQUE BICIRCULAIRE RATIONNELLE
Bicircular rational quartic, rationale Doppelkreisquartik

En bleu une crunodale, en rouge une cuspidale, en vert une acnodale

Équation polaire : .
Équation cartésienne : .

Cas  suivant que  ??????

Les quartiques bicirculaires rationnelles sont les quartiques bicirculaires possédant un point singulier réel - ici, O - qui est forcément unique (les points cycliques sont les deux autres points singuliers) ; la quartique est dite crunodale, cuspidale ou acnodale suivant que ce point singulier est un point double à tangentes distinctes, un point de rebroussement ou un point isolé.

Comme les cubiques circulaires rationnelles, elles possèdent la propriété d’avoir 4 définitions géométriques remarquables équivalentes.

1) Ce sont les podaires de coniques à centre (ici podaire par rapport à O de la conique  ).
Elles sont crunodales, cuspidales, ou acnodales suivant que le point O est extérieur à la conique, sur la conique ou intérieur à la conique.
 

cas crunodal

cas cuspidal

cas acnodal

Exemples : lorsque la conique est un cercle, on obtient les limaçons de Pascal (dont la cardioïde) et lorsque O est le centre de la conique, on obtient les courbes de Booth (dont la lemniscate de Bernoulli).

Cette définition comme podaire entraine une définition comme roulette d'une conique roulant sur une conique égale, et aussi comme courbe du trois-barre dans le cas du contre-parallélogramme.

trace d'un point d'une ellipse roulant sur une ellipse égale : on obtient une pseudo-cardioïde.

2) Ce sont donc les enveloppes de cercle de diamètre d'extrémités un point fixe (ici, O) et un point décrivant une conique à centre.
 

cas crunodal

cas cuspidal

cas acnodal

3) Ce sont les inverses de coniques par rapport à un point non situé sur la conique (ici, de la conique d'équation : p est la puissance d'inversion).
La quartique est crunodale, cuspidale, ou acnodale suivant que cette conique est une hyperbole, une parabole ou une ellipse.
 

cas crunodal

cas cuspidal

cas acnodal

4) Ce sont les cissoïdales de deux cercles par rapport à l'un des point de l'un des cercles, le premier cercle de centre  passant par O et le deuxième de centre  et de rayon a. La quartique est crunodale, cuspidale, ou acnodale suivant que ces cercles se coupent, sont tangents ou disjoints.
 

cas crunodal

cas cuspidal

cas acnodal

Voir aussi comme cas particulier la conchoïde de Dürer.
 
courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2001