courbe cissoïdale

COURBE CISSOÏDALE
Cissoidal curve, kissoidale kurve

Du grec Kissos : lierre.

Équation polaire de la cissoïdale de pôle O des courbes et : .

La (courbe) cissoïdale de deux courbes (G₁) et (G₂) relativement à un point O est le lieu (G) des points M tels que où M₁ est un point de (G₁) et M₂ un point de (G₂), M₁ et M₂ étant alignés avec O.

La cissoïdale est donc la courbe médiane de pôle O des courbes (G'₁) et (G'₂) images de (G₁) et (G₂) par une homothétie de centre O et de rapport 1/2.

En pointillé, les courbes (G₁) et (G₂), en bleu, les courbes (G'₁) et (G'₂) dont la cissoïdale est la médiane. Remarque : la cissoïdale de la cissoïdale et de la symétrique par rapport à O de l'une des deux courbes de départ est l'autre courbe de départ.

On définit parfois la cissoïdale comme le lieu des points M tels que ; cela revient bien sûr à changer (G₁) en sa symétrique par rapport à O, par rapport à la définition que nous avons prise.

Exemples :
- lorsque (G₁) et (G₂) sont deux droites parallèles, la cissoïdale est une troisième droite parallèle.
- lorsque (G₁) et (G₂) sont deux droites sécantes, les cissoïdales sont des hyperboles passant par O, d’asymptotes (G₁) et (G₂).

En mauve, les deux droites, et en bleu leurs homothétiques dont l'hyperbole est la médiane - lorsque (G₂) est un cercle et que O est le centre de ce cercle, on obtient les conchoïdes de la courbe (G₁).
- lorsque (G₁) est une conique, (G₂) une droite, O sur la conique, on obtient les cissoïdales de Zahradnik.
- lorsque (G₁) et (G₂) sont des cercles et O est sur l'un des cercles, on obtient les quartiques bicirculaires rationnelles.
- Lorsque (G₁) et (G₂) sont des cercles et que O est le milieu des centres, on obtient les courbes de Booth, dont la lemniscate de Bernoulli est un cas particulier.

- Le folium parabolique est la cissoïdale d'une droite et d'une parabole semi-cubique.

- les scarabées sont les cissoïdales de cercle et trèfle à 4 feuilles.

Remarque : lorsque les deux courbes (G₁) et (G₂) sont confondues, la cissoïdale comprend l'homothétique de cette courbe de centre O et de rapport deux, mais aussi éventuellement une autre partie (car les points M₁ et M₂ peuvent être distincts).

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