courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

COURBE CISSOÏDALE
Cissoidal curve, kissoidale kurve


Du grec Kissos : lierre.

 
Équation polaire de la cissoïdale de pôle O des courbes  et 
.

La (courbe) cissoïdale de deux courbes (G1) et (G2) relativement à un point O est le lieu (G) des points M tels que   où M1 est un point de (G1) et M2 un point de (G2), M1 et  M2  étant alignés avec O.

La cissoïdale est donc la courbe médiane de pôle O des courbes (G'1) et (G'2) images de (G1) et (G2) par une homothétie de centre O et de rapport 1/2.


En pointillé, les courbes (G1) et (G2), en bleu, les courbes (G'1) et (G'2) dont la cissoïdale est la médiane.
Remarque : la cissoïdale de la cissoïdale et de la symétrique par rapport à O de l'une des deux courbes de départ est l'autre courbe de départ.

On définit parfois la cissoïdale comme le lieu des points tels que  ; cela revient bien sûr à changer (G1) en sa symétrique par rapport à O, par rapport à la définition que nous avons prise.

Exemples :
 - lorsque (G1) et (G2) sont deux droites parallèles, la cissoïdale est une troisième droite parallèle.
 - lorsque (G1) et (G2) sont deux droites sécantes, les cissoïdales sont des hyperboles passant par O, d’asymptotes (G1) et (G2).

En mauve, les deux droites, et en bleu leurs homothétiques dont l'hyperbole est la médiane
 - lorsque (G2) est un cercle et que O est le centre de ce cercle, on obtient les conchoïdes de la courbe (G1).
 - lorsque (G1) est une conique, (G2) une droite, O sur la conique, on obtient les cissoïdales de Zahradnik.
 - lorsque (G1) et (G2) sont des cercles et O est sur l'un des cercles, on obtient les quartiques bicirculaires rationnelles.
 - Lorsque (G1) et (G2) sont des cercles et que O est le milieu des centres, on obtient les courbes de Booth, dont la lemniscate de Bernoulli est un cas particulier.

 - Le folium parabolique est la cissoïdale d'une droite et d'une parabole semi-cubique.

    - les scarabées sont les cissoïdales de cercle et trèfle à 4 feuilles.

Remarque : lorsque les deux courbes (G1) et (G2) sont confondues, la cissoïdale comprend l'homothétique de cette courbe de centre O et de rapport deux, mais aussi éventuellement une autre partie (car les points M1 et M2 peuvent être distincts).
 
 
courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2005