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CUBIQUE CIRCULAIRE RATIONNELLE
Circular rational quartic, rationale KreisKubik
cas oblique

Autre nom : cissoïde allongée ou hypercissoïde (cas crunodal), cissoïde raccourcie ou hypocissoïde (cas acnodal).

 
Équation polaire : .
Équation cartésienne : 
soit, dans le cas droit (b = 0) : .
Paramétrisation cartésienne : .
Cas  suivant que .

Les cubiques circulaires rationnelles sont les cubiques circulaires possédant un point singulier réel - ici, O - qui est forcément unique ; la cubique est dite crunodale, cuspidale ou acnodale suivant que ce point singulier est un point double à tangentes distinctes, un point de rebroussement ou un point isolé.

Les cubiques circulaires rationnelles possèdent la propriété d’avoir 4 définitions géométriques remarquables équivalentes.

1) Ce sont exactement les cissoïdales de cercle et droite par rapport à un point O du cercle (ici, cissoïdale du cercle (C) passant par O de centre A(a, b) et de la droite (D) :  relativement à O).
Elles sont dites droites si le diamètre issu de O est perpendiculaire à la droite (ici, si b = 0).
Ces cubiques, qui ont (D) pour asymptote et O pour point singulier, sont crunodales, cuspidales, ou acnodales suivant que la droite (D'), symétrique de (D) par rapport à O, est sécante, tangente, ou extérieure au cercle (C).
 

Construction cissoïdale, dans le cas crunodal
en pointillé bleu, le cercle (C) et les droites (D) et (D'), 
en bleu leurs homothétiques de rapport deux dont la cissoïdale est la médiane.

Construction cissoïdale, dans le cas acnodal.

Lorsque la droite (D') est tangente au cercle (), on obtient les cissoïdes ;
lorsqu'elle passe par le centre du cercle (d = -a), on obtient les strophoïdes ;
lorsqu'elle passe par le point diamétralement opposé à O (d = -2a), on obtient les ophiurides ;
lorsque c'est la médiatrice du rayon issu de O (a = -2d, b = 0), on obtient la trisectrice de Maclaurin ;
lorsque la droite (D) est tangente au cercle au point diamétralement opposé de O (d = 2a), on obtient la visiera ;
Dans le cas droit et acnodal, on obtient les cubiques de Sluze.

2)  Ce sont les podaires de paraboles ; plus précisément, la courbe cissoïdale d’un cercle (C) et d’une droite (D) de pôle un point O du cercle est la podaire par rapport à O de la parabole de foyer F , point diamétralement opposé à O (ici, F(2a,2b)), dont la tangente au sommet (ici, x = 2a + d) est la translatée de (D) de vecteur  ; ici, cette parabole a pour équation : .
Ces podaires sont crunodales, cuspidales, ou acnodales suivant que le point O est extérieur à la parabole, sur la parabole ou intérieur à la parabole.

Cas crunodal : podaire d'une parabole avec un pôle O extérieur à la parabole ; en pointillé, la déférente, image de la parabole précedente dans l'homothétie de rappport 1/2 de cente O.

Cas acnodal : podaire d'une parabole avec un pôle O intérieur à la parabole

3)  Ce sont donc les enveloppes de cercle de diamètre d'extrémités un point fixe (ici, O) et un point décrivant une parabole (la parabole précédente) ; autrement dit ce sont les cycliques de déférente une parabole, avec une puissance d'inversion nulle (figure ci-dessus).

4) Ce sont les inverses de coniques par rapport à un point de la conique (ici, inverse de centre O de la conique : r est le rayon du cercle d'inversion).
La cubique est crunodale, cuspidale, ou acnodale suivant que cette conique est une hyperbole, une parabole ou une ellipse.
 

Cas crunodal : inverse d'une hyperbole

Cas acnodal : inverse d'une ellipse

Voir d'autres définitions dans le cas droit.
 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2011