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INVERSE D'UNE COURBE PAR RAPPORT À UN POINT
Inverse of a curve with respect to a point, Inverse einer Kurve durch einen Punkt


Notion étudiée par Steiner en 1824.

 
 
Équation polaire :  inverse de la courbe  par rapport à O (cercle d'inversion )

L'inverse d'une courbe par rapport à un point est l'image de cette courbe par une inversion de pôle le point considéré.

L’inverse d’une courbe algébrique de degré n, admettant les points cycliques comme points d’ordre p, par rapport à un pôle d’inversion d’ordre q (pour la courbe de départ), est une courbe de degré 2n -2p - q, admettant les points cycliques comme points d’ordre n - p - q et le pôle comme point d’ordre n - 2p.

Exemples :
 
courbe de 
départ
centre d’inversion (position par rapport à la courbe de départ) centre d'inversion (position par rapport à la courbe inverse) courbe inverse
droite hors de la droite sur le cercle cercle
cercle hors du cercle hors du cercle cercle
conique sur la conique point singulier cubique circulaire rationnelle (droite si le pôle est en un sommet de la conique)
hyperbole sur l'hyperbole point double cubique circulaire à point double
hyperbole équilatère sur l’hyperbole point double strophoïde (droite si le pôle est en un sommet de l’hyperbole)
hyperbole d'excentricité 2 sommet point double trisectrice de Maclaurin
parabole sur la parabole point de rebroussement cissoïde (droite si le pôle est en un sommet de la parabole)
ellipse sur l'ellipse point isolé cubique circulaire rationnelle à point isolé (dont la visiera)
conique non circulaire hors de la conique point singulier réel quartique bicirculaire rationnelle
conique non circulaire foyer pôle limaçon de Pascal
parabole foyer point de rebroussement cardioïde
conique à centre centre centre courbe de Booth
hyperbole équilatère centre centre lemniscate de Bernoulli
spirale sinusoïdale pôle pôle spirale sinusoïdale 
cubique de Tschirnhausen foyer sommet de la boucle sextique de Cayley
rosace centre centre épi
limaçon trisecteur
(qui est une rosace)
sommet de la boucle intérieure point double trisectrice de Maclaurin
(qui est un épi)
noeud centre centre même noeud (avec rotation)
lemniscate de Bernoulli foyer ? limaçon de Pascal à point double à tangentes perpendiculaires
lemniscate de Bernoulli sur la courbe ? strophoïde
folium simple sommet "pointu"  point isolé cubique duplicatrice
campyle d'Eudoxe centre centre oeuf double

Voir aussi les courbes anallagmatiques, qui sont auto-inverses.
 
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© Robert FERRÉOL  2013