Notion étudiée par Steiner en 1824.

 

Équation polaire :  inverse de la courbe  par rapport à O (cercle d'inversion ). En coordonnées cartésiennes : , inverse de la courbe .

L'inverse d'une courbe par rapport à un point est l'image de cette courbe par une inversion de pôle le point considéré.

L’inverse d’une courbe algébrique de degré n, admettant les points cycliques comme points d’ordre p, par rapport à un pôle d’inversion d’ordre q (pour la courbe de départ), est une courbe de degré 2n – 2p – q, admettant les points cycliques comme points d’ordre n – p – q et le pôle comme point d’ordre n – 2p.
 

L'inversion dans le plan de centre O et de rayon a peut être réalisée par la composition des trois transformations de l'espace suivantes : 1) la projection centrale de centre N(0, 0, a) sur la sphère de centre O et de rayon a : (courbe bleue –> courbe rouge ci-contre). 2) la réflexion de base xOy :  (courbe rouge –> courbe noire ci-contre).  3) la projection centrale de centre N(0, 0, a) sur le plan xOy :  (courbe noire –> courbe verte ci-contre).

Exemples :
 

courbe de  départ	centre d’inversion (position par rapport à la courbe de départ)	centre d'inversion (position par rapport à la courbe inverse)	courbe inverse
droite	hors de la droite	sur le cercle	cercle
cercle	hors du cercle	hors du cercle	cercle
conique	sur la conique	point singulier	cubique circulaire rationnelle (droite si le pôle est en un sommet de la conique)
hyperbole	sur l'hyperbole	point double	cubique circulaire à point double
hyperbole équilatère	sur l’hyperbole	point double	strophoïde (droite si le pôle est en un sommet de l’hyperbole)
hyperbole d'excentricité 2	sommet	point double	trisectrice de Maclaurin
parabole	sur la parabole	point de rebroussement	cissoïde (droite si le pôle est en un sommet de la parabole)
ellipse	sur l'ellipse	point isolé	cubique circulaire rationnelle à point isolé (dont la visiera)
conique non circulaire	hors de la conique	point singulier réel	quartique bicirculaire rationnelle
conique non circulaire	foyer	pôle	limaçon de Pascal
parabole	foyer	point de rebroussement	cardioïde
conique à centre	centre	centre	courbe de Booth
hyperbole équilatère	centre	centre	lemniscate de Bernoulli
spirale sinusoïdale	pôle	pôle	spirale sinusoïdale
cubique de Tschirnhausen	foyer	sommet de la boucle	sextique de Cayley
rosace	centre	centre	épi
limaçon trisecteur (qui est une rosace)	sommet de la boucle intérieure	point double	trisectrice de Maclaurin (qui est un épi)
noeud	centre	centre	même noeud (avec rotation)
lemniscate de Bernoulli	foyer	?	limaçon de Pascal à point double à tangentes perpendiculaires
lemniscate de Bernoulli	sur la courbe	?	strophoïde
folium simple	sommet "pointu"	point isolé	cubique duplicatrice
campyle d'Eudoxe	centre	centre	oeuf double

Voir aussi les courbes anallagmatiques, qui sont auto-inverses.
 

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fractals

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© Robert FERRÉOL  2019