CUBIQUE DE TSCHIRNHAUSEN
Tschirnhausen's cubic, Tschirnhausensche Kubik
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CUBIQUE DE TSCHIRNHAUSEN
Tschirnhausen's cubic, Tschirnhausensche Kubik
| Courbe étudiée par Tschirnhausen en1690,
L'Hospital en 1696 et Catalan en 1832.
Autres noms : trisectrice de Catalan, cubique de L'Hospital, orthogénide [?loria]. Ehrenfried Tschirnhausen (1651-1708) : physicien et géomètre allemand. |
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Dans (O,  ,  )
:
Équation cartésienne :  .
Paramétrisation cartésienne :  .
Cubique polynomiale à point double. Le sommet est A(9a, 0) et le point double O. Autre paramétrisation cartésienne partielle (en gras ci-contre) :  |
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Équation cartésienne dans (F, , )
(où F(8a, 0) est le foyer de la parabole podaire,
d'équation 
et p = 2a son paramètre) :
  .
Paramétrisation cartésienne :  (
t
= tan(q/3)).
Aire de la boucle :  . |
| La cubique de Tschirnhausen est l’antipodaire de la parabole par rapport à son foyer F. |  |
| C'est aussi la caustique par réflexion de la parabole pour des rayons lumineux perpendiculaires à l'axe de la parabole, |  |
ainsi que, à dilatation près, la projection
de la parabole
gauche :
sur le plan x+z = 0. |
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L’équation cartésienne montre que c’est un cas particulier de parabole divergente et l’équation polaire que c’est un cas particulier de spirale sinusoïdale.
C'est une trisectrice (voir Brocard Lemoyne III p.140).
La surface
d'Enneper est la surface minimale contenant la cubique de Tschirnhausen
comme géodésique.
| La roulette du foyer
d'une cubique de Tschirnhausen roulant sur une droite est une parabole.
La glissette de ce même foyer est une cubique duplicatrice. |
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La cubique de Tschirnhausen, qui est aussi celle de L'Hospital,
n'est pas à confondre avec la quintique
de ce dernier.
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2012