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COURBE DE POURSUITE ORTHOGONALE,COURBE DE DUPORCQ
Orthogonal pursuit curve, Duporcq curve , Querläuferkurve, Duporcqsche Kurve


Courbe étudiée par Duporcq et Mannheim en 1902, Balitran en 1914, Egan en 1919, Masurel en 2014.
Ernest Duporcq (1873-1903) : mathématicien français.
Autre nom : courbe du crabe.
Voir aussi : Walter Wunderlich, Über die Hundekurven mit konstantem Schielwinkel, Monatshefte für Mathematik, 1957, Volume 61, Issue 4, pp 299-303.

 
 Système différentiel : , menant, pour  à , soit .

 
Les courbes de poursuite orthogonale sont les trajectoires d'un mobile M dont le mouvement est dirigé à chaque instant perpendiculairement à la direction d'un autre mobile M0 (l'initiateur), les deux mobiles ayant des vitesses proportionnelles .
La trajectoire de M0 étant donnée, celle de M est donc définie dans ce cas par le fait que (MM0 ) est perpendiculaire en M à sa trajectoire, et l'abscisse curviligne de M est proportionnelle à celle de M0 :.
On peut imaginer un crabe en M qui marcherait toujours face à l'initiateur M0 et on pourrait appeler ces courbes "courbes (de poursuite) du crabe".

    I) Dans le cas où M0 a un mouvemnt rectiligne, les trajectoires du "crabe" sont appelées "courbes de Duporcq".
Egan a montré qu'alors le vecteur a le même mouvement qu'un corps en attraction newtonienne, et décrit donc une conique d'excentricité e (d'où l'explication du choix de e pour le rapport des vitesses, au lieu du classique k).

Premier cas : , cas elliptique.
Paramétrisation cartésienne : .
Abscisse curviligne : .

 
Ci-contre, en bleu, est indiqué le mouvement elliptique du vecteur .
La courbe de Duporcq est dans ce cas l'image par une affinité de rapport d'une cycloïde allongée de rapport .
NOTA 1 : c'est le seul rapport d'affinité qui permet d'intégrer l'abscisse curviligne par fonctions élémentaires. 
NOTA 3 : dans les expressions ci-dessus, et comme on le remarque dans l'animation ci-contre, les vitesses de M et de M0 sont proportionnelles, mais non constantes.

Deuxième cas : , cas parabolique.
a) le crabe et l'initiateur ont, à un instant donné, des vitesses de même sens : le crabe suit évidemment une droite parallèle à celle suivie par l'initiateur.

b) le crabe et l'initiateur ont, à un instant donné, des vitesses de sens contraire.
Paramétrisation cartésienne : ,
Abscisse curviligne : .

 
Ci-contre, en bleu, est indiqué le mouvement parabolique du vecteur .

La courbe de Duporcq n'est autre, dans ce cas, que la cubique de Tschirnhausen.

NOTA : le mouvement de M est composé d'un mouvement parabolique  et d'un mouvement de translation.
 

Troisième cas : , cas hyperbolique.

a) le crabe et l'initiateur sont au même point à un instant donné : ils suivent deux droites sécantes.

Ce cas est exclu dans la suite.

b) le crabe et l'initiateur ont, à un instant donné, des vitesses de même sens :
 
Paramétrisation cartésienne :,

Abscisse curviligne : .
Ci-contre, en bleu, est indiqué le mouvement hyperbolique du vecteur .

c) le crabe et l'initiateur ont, à un instant donné, des vitesses de sens contraire :
 
Paramétrisation cartésienne : .
Abscisse curviligne : .

Ci-contre, en bleu, est indiqué le mouvement hyperbolique du vecteur .

REMARQUE : Mannheim a montré que la courbe de Duporcq de paramètre e est la roulette à base rectiligne du pôle de la spirale de Sturm vérifiant .
 

    II) Cas où l'initiateur décrit une courbe quelconque :
 
Équation différentielle vectorielle : , se traduisant par le système différentiel : 
( = mobile initiateur, = crabe, ).

Pour un initiateur sur le cercle de centre O et de rayon R, on obtient le système différentiel :  permettant de tracer les courbes à l'aide d'un logiciel.
 

Un exemple avec k = 1.

Un exemple avec k = 1/3.
La courbe de filature associée au mobile décrivant un cercle (en bleu ci-dessous) et à un point du cercle (l'arbre) fournit un cas particulier circulaire de courbe du crabe associée à un cercle.
Si  est le rayon du cercle initiateur et R celui du cercle du crabe, on a .
Ci-dessous un exemple avec k = 1/2, .

VARIANTE (sur une idée d'Alain Esculier) : la vitesse du crabe n'est plus proportionnelle à celle de l'initiateur, mais à la distance à celui-ci.
 
Équation différentielle vectorielle : , se traduisant par le système différentiel linéaire : .
Équations du mouvement du crabe : .

I) Initiateur rectiligne.
 
Pour un initiateur (vt, 0), équations du mouvement du crabe passant par (0, b) : 
(a = v/k).
C'est donc une trochoïde de rapport , qui est une cycloïde si .

II) Initiateur circulaire.
 
Pour un initiateur, équations du mouvement du crabe passant par (0, a) pour  :
. Il s'agit d'une épitrochoïde pour  et d'une hypotrochoïde pour, épicycloïde et hypocycloïde pour a = R. Le paramètre q est égal à .

Pour  , on obtient : , qui n'est autre qu'une développante de cercle (plus précisément, développante du cercle parcouru par l'initiateur).

 
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© Robert FERRÉOL 2015