Les hypocycloïdes sont les courbes décrites par un point d'un cercle (C) roulant sans glisser sur et intérieurement à un cercle de base (C₀), le cercle roulant étant plus petit que le fixe ; ce sont donc des cas particuliers d'hypotrochoïdes.

Paramétrisation complexe :  où a est le rayon du cercle de base et  celui du cercle roulant (q > 1). Paramétrisation cartésienne : . Abscisse curviligne : 1)  2) . Angle tangentiel cartésien :  ou 2) . Rayon de courbure : 1)  ou 2)  Équation intrinsèque 1 (forme 1) : . ( est l’équation d’une hypocycloïde si et seulement si d < c, avec ) Équation intrinsèque 2 (forme 1): . ( est l'équation d'une hypocycloïde si et seulement si |B| > 1). Équation podaire : . Equation de la tangente en M(t) : . Longueur d’une arche : . Aire de la surface située entre l'arche et les deux tangentes à ses extrémités : . Pour q entier, la longueur totale vaut donc  fois la longueur du cercle de base, et  l’aire totale vaut  fois l’aire de ce cercle.

Les hypocycloïdes sont des courbes formées d'arcs isométriques (les arches) se rejoignant en des points de rebroussements (obtenus pour ) en nombre égal au numérateur du nombre q si q est rationnel et en nombre infini sinon.
Lorsque q est rationnel, , la courbe est algébrique rationnelle (prendre comme  paramètre ).
Elle a la même structure qu'un polygone régulier, croisé si m ³ 2, à n sommets joints de m en m par des courbes situées à l'intérieur du cercle (C₀).

Lorsque l'on parle d'hypocycloïde à n rebroussements (E_n), on considère le cas q = n, c'est-à-dire celui où il n'y a pas de croisement.

Si l'on prend 0 < q < 1 dans les formules ci dessus, le cercle roulant est plus grand que le cercle de base ; on est donc dans le cas des péricycloïdes, qui sont aussi des épicycloïdes dont le rapport du cercle de base au cercle roulant vaut  ( donc si l'on prend  dans les formules ci dessus, on obtient l'épicycloïde à n rebroussements).

Pour q > 1, lorsque l'on change b en a – b (soit q  en  ou  en  dans le cas rationnel), la courbe n'est pas modifiée. Ceci constitue la propriété de double génération de l'hypocycloïde :

On obtient donc toutes les hypocycloïdes possibles en prenant seulement b £ a/2 , soit q ³ 2 :
On remarquera que l'hypocycloïde de paramètre q = a/ b  irréductible a la même forme que le polygone régulier croisé de symbole {a/b}
 

q = 1 : point	q  = 2 : droite de La Hire	q = 3 : deltoïde	q = 4 : astroïde	q = 5
q = 5/2 :	q = 7/2	q = 9/2	q = 11/2	q = 13/2
q  = 7/3	q = 8/3	q = 10/3	q = 11/3	q = 13/3
q = 9/4	q = 11/4	q = 13/4	q = 15/4	q = 17/4
q = 11/5	q = 12/5	q = 13/5	q = 14/5	q = 16/5

L’hypocycloïde est l'enveloppe d'un diamètre d'un cercle de rayon double de celui de (C) roulant sans glisser sur et extérieurement à (C₀).

C'est aussi l'enveloppe d'une corde (PQ) du cercle de centre O et de rayon  (cercle des sommets de l'hypocycloïde), P et Q parcourant ce cercle dans des sens contraires et avec des vitesses constantes dans le rapport q - 1 (ceci constitue la génération dite de Cremona).
 

C’est enfin l’antipodaire par rapport à O de la rosace : .
Sa développée est sa propre image par la similitude directe de centre O, de rapport , et d’angle .

On peut aussi définir les hypocycloïdes comme les trajectoires d’un mouvement somme de deux mouvements circulaires uniformes de même vitesse et de sens contraires (de paramétrisation complexe : avec ).

Les hypocycloïdes sont aussi des projections d'hélices sphériques, et enfin, les courbes des petites oscillation du pendule de Foucault.

Voir aussi en 3D les cycloïdes sphériques.

http://www.maa.org/editorial/knot/Beyond.html
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2005