Deltoïde

DELTOÏDE
Deltoid or three-cusped hypocycloid, Deltoide (od. Dreispitzige)

Courbe étudiée par Euler en 1745 et Steiner en 1856.
Delta : lettre grecque rappelant la forme de la courbe.
Autres noms : hypocycloïde à 3 rebroussements, H₃, hypocycloïde de Steiner, ou tricuspide.

Paramétrisation complexe :

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Paramétrisation cartésienne :

.
Équation cartésienne :

.
Quartique circulaire rationnelle.
Paramétrisation polaire :

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Abscisse curviligne : 1)

ou 2)

.
Angle tangentiel cartésien : 1)

ou 2)

.
Rayon de courbure 1)

ou 2)

.
Équation intrinsèque 1 (forme 1)) :

.
Équation intrinsèque 2 (forme 1)) :

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Équation podaire :

.
Longueur :

.
Aire :

(double de celle du cercle inscrit).

La deltoïde est l'hypocycloïde à trois rebroussements (cercle de rayon a roulant à l'intérieur d'un cercle de rayon 3a).

D’après la double génération des hypocycloïdes, un point d'un cercle de rayon 2a roulant à l'intérieur du cercle de rayon 3a décrit une deltoïde isométrique, mais en sens inverse et l’un de ses diamètres enveloppe aussi une deltoïde isométrique.

Animation ralentie de la double génération

La deltoïde est aussi l'enveloppe d'une corde (PQ) du cercle de centre O et de rayon a (cercle inscrit dans la deltoïde), P et Q parcourant ce cercle dans des sens contraires, l’un ayant une vitesse double de l’autre (génération de Cremona).

Ci-dessus, le point n est relié au point -2n modulo 30.

L'enveloppe des droites de Simson (qui passent par les projetés sur les trois côtés d'un point du cercle circonscrit ) d'un triangle quelconque est une deltoïde centrée au centre du cercle d'Euler du triangle, appelée hypocycloïde de Steiner du triangle.

Comme pour toute courbe cycloïdale, la développée de la deltoïde est une deltoïde semblable (dans un rapport 3) :

L'une des développantes est donc une deltoïde ; les autres sont auto-parallèles :

Les podaires de la deltoïde sont les foliums.
Ses caustiques par réflexion au soleil sont des astroïdes.
Son orthoptique est son cercle inscrit.
Sa radiale est un trifolium régulier.

Voir aussi :
http://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk3/cabrijava/deltoid-in-nephroid.html

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